lim_(x→0) (cosx -1)/x^2  এর মান কোনটি? 

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}\) এর মান কোনটি?

উত্তর: \(-\frac{1}{2}\)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা জানি যে, \(\cos x\) এর টেইলর সিরিজ বিকাশ (Taylor series expansion) হলো:

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \]

অর্থাৎ, \(\cos x - 1\) হবে:

\[ \cos x - 1 = - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \]

এখন, মূল সীমা লিখি:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots}{x^2} \]

প্রতিটি টার্মকে বিভাগ করবো:

\[ = \lim_{x \to 0} \left( - \frac{1}{2} + \frac{x^2}{24} - \cdots \right) \]

যেহেতু যখন \(x \to 0\), \(\frac{x^2}{24} \to 0\) এবং অন্যান্য ছোট অঙ্কের টার্মগুলোও শূন্যে যাবে, তাই সীমার মান হবে:

\[ -\frac{1}{2} \]

অতএব, উত্তর হলো:

\(\boxed{-\frac{1}{2}}\)