lim_(x->∞)(2x^2+3x+5)/(3x^2+5x-6)=কত?

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 5}{3x^2 + 5x - 6}\)

উত্তর: নিচের ধাপে ধাপে সমাধান করি:

1. প্রথমে, মূল বিষয় হল উভয় সংখ্যার সর্বোচ্চ ডিগ্রির টার্মগুলো নিয়ে দেখা। এখানে উভয় সূচকেই \(x^2\) আছে।
2. সাধারণত, সীমা হিসাব করার জন্য, উভয় নম্বর ও denominator কে সবচেয়ে বড় ডিগ্রির টার্ম দ্বারা ভাগ করি।

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 5}{3x^2 + 5x - 6}
= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2 + 3x + 5}{x^2}}{\frac{3x^2 + 5x - 6}{x^2}}
= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}
\]

3. যখন \(x \to \infty\), তখন \(\frac{1}{x} \to 0\) এবং \(\frac{1}{x^2} \to 0\)। ফলে, উপরের মূল সীমা হয়:

\[
= \frac{2 + 0 + 0}{3 + 0 - 0} = \frac{2}{3}
\]

অতএব, মূল সীমার মান হল:

\(\boxed{\frac{2}{3}}\)