a এবং b এর মান যথাক্রমে কত হলে \( \lim_{x \to 0} a e^x - b \cos x + e^{-x} \sin x = 2 \) হয়?
প্রশ্ন: a এবং b এর মান যথাক্রমে কত হলে \( \lim_{x \to 0} \frac{a e^x - b \cos x + e^{-x} \sin x}{x} = 2 \) হয়?
সমাধান:
যেহেতু \( \lim_{x \to 0} \frac{a e^x - b \cos x + e^{-x} \sin x}{x} = 2 \), তাই লিমিটটির অস্তিত্ব আছে। সুতরাং, \(x = 0\) বসালে লবের মান 0 হতে হবে।
অতএব, \( a e^0 - b \cos 0 + e^{-0} \sin 0 = 0 \)
বা, \( a - b + 0 = 0 \)
বা, \( a = b \) ...(1)
এখন, আমরা ল' হসপিটাল (L'Hôpital's rule) প্রয়োগ করি:
\( \lim_{x \to 0} \frac{a e^x - b \cos x + e^{-x} \sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a e^x + b \sin x + e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x}{1} \)
= \( a e^0 + b \sin 0 + e^{-0} \cos 0 - e^{-0} \sin 0 \)
= \( a + 0 + 1 - 0 \)
= \( a + 1 \)
সুতরাং, \( a + 1 = 2 \)
বা, \( a = 1 \)
এখন (1) নং সমীকরণ থেকে পাই, \( b = a = 1 \)
কিন্তু উত্তরে \( a = 3 \) এবং \( b = 4 \) দেওয়া আছে। তাই প্রদত্ত লিমিটটি পুনরায় বিবেচনা করা যাক:
\( \lim_{x \to 0} \frac{a e^x - b \cos x + e^{-x} \sin x}{x} = 2 \) এই সমস্যাটিতে একটু সংশোধন প্রয়োজন। প্রশ্নটি সম্ভবত হবে:
\( \lim_{x \to 0} \frac{a e^x - b \cos x + e^{-x} \sin x}{x} = 2 \) হলে a ও b এর মান নির্ণয় কর।
যদি \(\lim_{x \to 0} \frac{a e^x - b \cos x + e^{-x} \sin x}{x} = 2\) হয়, তবে:
যখন x=0, তখন \(ae^0 - b\cos(0) + e^0\sin(0) = 0\) সুতরাং, a - b = 0 => a = b।
L'Hopital এর নিয়ম অনুসারে, \(\lim_{x \to 0} \frac{a e^x + b \sin x + e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x}{1} = 2\) অতএব, a + b*0 + 1 - 0 = 2 => a + 1 = 2 => a = 1।
সুতরাং, a = b = 1।
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(\lim_{x \to 0} \frac{a e^x - b \cos x + e^{-x} \sin x}{x^3} \) তবে অন্য উত্তর আসতে পারে।
```