Lim_(xrarr0)(sqrt(a+x²)-sqrt(a-x²))/(x^2)এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a+x^2} - \sqrt{a-x^2}}{x^2} \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা লিমিটটির মান নির্ণয় করার জন্য প্রথমে লব ও হরকে \( \sqrt{a+x^2} + \sqrt{a-x^2} \) দিয়ে গুণ করি।

\( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a+x^2} - \sqrt{a-x^2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{a+x^2} - \sqrt{a-x^2})(\sqrt{a+x^2} + \sqrt{a-x^2})}{x^2(\sqrt{a+x^2} + \sqrt{a-x^2})} \)

\(= \lim_{x \to 0} \frac{(a+x^2) - (a-x^2)}{x^2(\sqrt{a+x^2} + \sqrt{a-x^2})} \)

\(= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2(\sqrt{a+x^2} + \sqrt{a-x^2})} \)

\(= \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{a+x^2} + \sqrt{a-x^2}} \)

এখন, \( x = 0 \) বসালে পাই,

\(= \frac{2}{\sqrt{a+0} + \sqrt{a-0}} \)

\(= \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{a}} \)

\(= \frac{2}{2\sqrt{a}} \)

\(= \frac{1}{\sqrt{a}} \)

অতএব, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a+x^2} - \sqrt{a-x^2}}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{a}} \)। 🎉