lim_(xtooo) (1+1/x)^x এর মান কত? 

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) এর মান কত?

উত্তর: \(e\)

সমাধান:

ধরা যাক,

\[ L = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \]

এখন, এই লিমিটের মান নির্ণয় করতে, আমরা ল্যাম্বার্টের টেকনিক বা লগারিদমিক রূপ ব্যবহার করব।

প্রথমে, লিমিটটি এর লগ নিন:

\[ \ln L = \lim_{x \to \infty} \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

এখন, যখন \(x \to \infty\), তখন \(\frac{1}{x} \to 0\), তাই আমরা টানজেন্টের ধারনা বা লিমিটের জন্য লো-পার্টের কৌশল ব্যবহার করব।

তাই,

\[ \ln L = \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

এখন, \(x \to \infty\), তাই \(\frac{1}{x} \to 0\), এবং আমরা টানজেন্টের ধারনা ব্যবহার করে:

\[ \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{x} \quad \text{যখন} \quad x \to \infty \]

অর্থাৎ,

\[ \ln L \approx x \cdot \frac{1}{x} = 1 \]

অতএব,

\[ \ln L = 1 \]

অর্থাৎ,

\[ L = e^{1} = e \]

সুতরাং,

\[ \boxed{\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e} \]