lim_(x->0) (3^x-3^-x)/(3^x+3^-x)=? 

সমাধান:

আমরা প্রশ্নটি সমাধান করবো:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{3^x - 3^{-x}}{3^x + 3^{-x}} \]

প্রথমে, আমরা \(3^x\) ও \(3^{-x}\) কে একসাথে সহজ করে লিখতে পারি।

আমরা জানি যে, \(a^x = e^{x \ln a}\), তাই:

\[ 3^x = e^{x \ln 3}, \quad 3^{-x} = e^{-x \ln 3} \]

এখন, যখন \(x \to 0\), তখন \(e^{x \ln 3} \to 1\) এবং \(e^{-x \ln 3} \to 1\)।

তাই, মূল মানটি নির্ণয় করতে আমরা টেলর সিরিজ ব্যবহার করবো।

প্রথমে, \(e^{x \ln 3}\) এর টেলর সিরিজ:

\[ e^{x \ln 3} = 1 + x \ln 3 + \frac{(x \ln 3)^2}{2!} + \dots \]

এবং, \(e^{-x \ln 3}\):

\[ e^{-x \ln 3} = 1 - x \ln 3 + \frac{(x \ln 3)^2}{2!} - \dots \]

এখন, উভয় টার্মের উপরের অংশ:

\[ 3^x - 3^{-x} = \left(1 + x \ln 3 + \frac{(x \ln 3)^2}{2} + \dots \right) - \left(1 - x \ln 3 + \frac{(x \ln 3)^2}{2} - \dots \right) = 2x \ln 3 + \text{অপ্রয়োজনীয় টার্ম} \]

অন্যদিকে, নিচের অংশ:

\[ 3^x + 3^{-x} = \left(1 + x \ln 3 + \frac{(x \ln 3)^2}{2} + \dots \right) + \left(1 - x \ln 3 + \frac{(x \ln 3)^2}{2} - \dots \right) = 2 + \text{অপ্রয়োজনীয় টার্ম} \]

তাহলে, মূল সীমাটি হয়:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \ln 3}{2} = \lim_{x \to 0} x \ln 3 = 0 \]

অতএব, উত্তর:

0