lim_(x->oo) (1+1/x)^(x+5)=?

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+5} = ?\)

উত্তর: \(e\)

সমাধান:

আমরা দেখতে হবে, \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+5}\)

প্রথমে, এই সীমাটিকে কিছুটা রূপান্তর করি:

\[ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+5} = \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right] \times \left(1 + \frac{1}{x}\right)^5 \]

এখন, আমরা জানি যে,

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]

এবং, \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^5 = 1\), কারণ যখন \(x \to \infty\), তখন \(\frac{1}{x} \to 0\), তাই \(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^5 \to 1\).

অতএব,

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+5} = \left(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right) \times \left(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^5\right) = e \times 1 = e \]

অতএব, উত্তর হলো \(\boxed{e}\)