lim_(xrarr0)int_0^a(x^2-a^2)/(x^2+a^2) dx এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \int_0^a \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \, dx \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

যেহেতু ইন্টিগ্রালটিতে \(x\) এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেশন করা হচ্ছে এবং লিমিট \(x \to 0 \), তাই ইন্টিগ্রেশনের লিমিট \(0\) থেকে \(a\) পর্যন্ত অপরিবর্তিত থাকবে। সুতরাং, আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটির মান নির্ণয় করি।

ধরি, \( I = \int_0^a \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \, dx \)

আমরা লিখতে পারি,

\( \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} = \frac{x^2 + a^2 - 2a^2}{x^2 + a^2} = 1 - \frac{2a^2}{x^2 + a^2} \)

তাহলে,

\( I = \int_0^a \left(1 - \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\right) \, dx \)

\( = \int_0^a 1 \, dx - 2a^2 \int_0^a \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx \)

আমরা জানি, \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \)

সুতরাং,

\( I = [x]_0^a - 2a^2 \left[ \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \right]_0^a \)

\( = (a - 0) - 2a \left[ \tan^{-1}\left(\frac{a}{a}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{0}{a}\right) \right] \)

\( = a - 2a \left[ \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \right] \)

\( = a - 2a \left[ \frac{\pi}{4} - 0 \right] \)

\( = a - \frac{a\pi}{2} \)

এখন, আমাদের \( \lim_{x \to 0} I \) এর মান বের করতে হবে। যেহেতু ইন্টিগ্রালের মান \(x\) এর উপর নির্ভরশীল নয়, তাই লিমিটের মান হবে:

\( \lim_{x \to 0} \left( a - \frac{a\pi}{2} \right) = a - \frac{a\pi}{2} = a\left(1 - \frac{\pi}{2}\right) = -a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) \) 😥

কিন্তু উত্তরে \( a(\frac{\pi}{2} - 1) \) দেওয়া আছে। 🤔 সম্ভবত প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও একটি ঋণাত্মক চিহ্নের সমস্যা আছে। যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \( \lim_{a \to 0} \int_0^a \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \, dx \) সেক্ষেত্রেও উত্তরটি একই থাকবে, অর্থাৎ \( 0 \)।

যদি উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য প্রশ্নটিকে সংশোধন করতে হয়, তবে সঠিক উত্তর \( a(\pi/2 - 1) \) হবে যদি আমরা ইন্টিগ্রেশনের লিমিট \( a \) থেকে \( 0 \) করি। অথবা, যদি আমরা \( \frac{a^2 - x^2}{x^2 + a^2} \) ইন্টিগ্রেট করি। 🤔

কিন্তু প্রদত্ত প্রশ্নের জন্য, \( \lim_{x \to 0} \int_0^a \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \, dx = a - \frac{\pi a}{2} = a(1 - \frac{\pi}{2}) = -a(\frac{\pi}{2} - 1) \) 🤓