lim_(x->2)(sqrt(5x-1)-3)/(x-2)  এর মান হয়-

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{5x-1} - 3}{x-2} \) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা প্রথমে \( \frac{0}{0} \) আকারের অনির্ণেয় রূপটি পরীক্ষা করি। \( x = 2 \) বসালে লব \( \sqrt{5(2) - 1} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0 \) হয় এবং হর \( x - 2 = 2 - 2 = 0 \) হয়। সুতরাং, এটি \( \frac{0}{0} \) আকারের।

এখন, আমরা লব ও হরকে \( \sqrt{5x-1} + 3 \) দিয়ে গুণ করে পাই:

\( \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{5x-1} - 3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{5x-1} - 3)(\sqrt{5x-1} + 3)}{(x-2)(\sqrt{5x-1} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \frac{(5x-1) - 3^2}{(x-2)(\sqrt{5x-1} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \frac{5x - 1 - 9}{(x-2)(\sqrt{5x-1} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \frac{5x - 10}{(x-2)(\sqrt{5x-1} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \frac{5(x - 2)}{(x-2)(\sqrt{5x-1} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \frac{5}{\sqrt{5x-1} + 3} \)

এখন, \( x = 2 \) বসালে পাই:

\( \frac{5}{\sqrt{5(2)-1} + 3} = \frac{5}{\sqrt{9} + 3} = \frac{5}{3 + 3} = \frac{5}{6} \)

অতএব, \( \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{5x-1} - 3}{x-2} = \frac{5}{6} \) 🥳

উত্তর: \( \frac{5}{6} \)