lim_(x->0)(7sin(x/7))/x=?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0} \frac{7 \sin \left(\frac{x}{7}\right)}{x}\)

উত্তর: 1

সমাধান:

আমরা লক্ষ্য করি যে, এটি একটি সাধারণ শর্তাধীন সীমা যেখানে \(\sin\) ফাংশনের জন্য পরিচিত সীমা ব্যবহার করা যেতে পারে।

প্রথমে, সীমাটি পরিবর্তন করি:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{7 \sin \left(\frac{x}{7}\right)}{x}
\]

এখানে, \(\sin\) ফাংশনের জন্য পরিচিত সীমা হলো:

\[
\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1
\]

তাই, আমরা \(x\) এর পরিবর্তে \(\frac{x}{7}\) ধরি এবং সুতরাং:

\[
x \to 0 \Rightarrow \frac{x}{7} \to 0
\]

এখন, সীমাটি পরিবর্তন করি:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{7 \sin \left(\frac{x}{7}\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{7 \sin \left(\frac{x}{7}\right)}{x} \times \frac{\frac{x}{7}}{\frac{x}{7}} = \lim_{x \to 0} \frac{7 \times \frac{\sin \left(\frac{x}{7}\right)}{\frac{x}{7}}}{x} \times \frac{x}{7}
\]

অথবা সহজ করে লিখি:

\[
= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \left(\frac{x}{7}\right)}{\frac{x}{7}} \times \frac{7}{x} \times x \right)
\]

এখানে, \(\frac{7}{x} \times x = 7\), তাই:

\[
= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \left(\frac{x}{7}\right)}{\frac{x}{7}} \times 7 \right) = 7 \times \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left(\frac{x}{7}\right)}{\frac{x}{7}}
\]

এবং, আমরা জানি:

\[
\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1
\]

অতএব, যখন \(x \to 0\), \(u = \frac{x}{7} \to 0\), তাই:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin \left(\frac{x}{7}\right)}{\frac{x}{7}} = 1
\]

অতএব, সমাধান হলো:

\[
= 7 \times 1 = 7
\]

কিন্তু, আমাদের মূল সীমা ছিল: \[ \lim_{x \to 0} \frac{7 \sin \left(\frac{x}{7}\right)}{x} \] এবং বাস্তবে, আমরা একটু ভুল করেছি। আসল পদক্ষেপে ফিরে যাই: প্রকৃতপক্ষে, একটি সরাসরি ব্যবহার হলো: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left(\frac{x}{7}\right)}{\frac{x}{7}} = 1 \] অর্থাৎ, \[ \sin \left(\frac{x}{7}\right) \approx \frac{x}{7} \] তাহলে, \[ \frac{7 \sin \left(\frac{x}{7}\right)}{x} \approx \frac{7 \times \frac{x}{7}}{x} = \frac{x}{x} = 1 \] এবং, যেহেতু সীমাটি নির্দিষ্টভাবে \(\sin\) এর সাধারণ সীমার সাথে সম্পর্কিত, তাহলে: \[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \frac{7 \sin \left(\frac{x}{7}\right)}{x} = 1 } \] **উত্তর: \(\boxed{1}\)**