lim_(x->0)(e^(2x)-1)/(2x)= কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x}\) কত?

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের দেওয়া লিমিটটি হলো:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x} \] আমরা জানি যে, \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{ax} = 1\) যেখানে \(a\) একটি ধ্রুবক। এই সূত্রটি মূলত e এর ক্রমানুসারে টেইলর সিরিজের ভিত্তিতে প্রমাণিত।

অথবা, আমরা এই লিমিটটি লোবিটালের নিয়ম প্রয়োগ করে সমাধান করতে পারি।

লেবিটালের নিয়ম অনুযায়ী:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{2x} - 1)}{\frac{d}{dx} (2x)} \] এখানে ডেফারেন্সিয়েশন করি:

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2x}}{2} = \lim_{x \to 0} e^{2x} \] যখন \(x \to 0\), তখন: \[ e^{2 \times 0} = e^{0} = 1 \] অতএব, উত্তরে পাই:

উত্তর: 1