\( \lim_{x \to 0} 2x \sin \left( \frac{a}{2x} \right) \) এর মান কোনটি?

Explanation: \(y = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}\right)\) \(= \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}\right)\) \(= \frac{1}{2} \tan^{-1} (\tan \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{4} \implies 4y = x \implies x = 4y\)

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} 2x \sin \left( \frac{a}{2x} \right) \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

আমরা জানি, \( -1 \leq \sin(\theta) \leq 1 \) যে কোনো \(\theta\) এর জন্য। সুতরাং,

\( -1 \leq \sin \left( \frac{a}{2x} \right) \leq 1 \)

এখন, \(2x\) দিয়ে গুণ করে পাই:

\( -2|x| \leq 2x \sin \left( \frac{a}{2x} \right) \leq 2|x| \) , যখন \(x \to 0\)

যখন \( x \to 0 \), তখন \( -2|x| \to 0 \) এবং \( 2|x| \to 0 \)।

সুতরাং, সীমার সং definition অনুসারে (Squeeze Theorem),

\( \lim_{x \to 0} 2x \sin \left( \frac{a}{2x} \right) = 0 \)

অতএব, প্রদত্ত উত্তর \(a\) সঠিক নয়। সঠিক উত্তর \(0\)। 😮‍💨

```