\( \lim_{x \to \infty} 2x \sin \left( \frac{a}{2x} \right) \) এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to \infty} 2x \sin \left( \frac{a}{2x} \right) \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)। এই সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য, আমরা প্রদত্ত সীমাটিকে একটু পরিবর্তন করে লিখি: 🤓

\( \lim_{x \to \infty} 2x \sin \left( \frac{a}{2x} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin \left( \frac{a}{2x} \right)}{\frac{1}{2x}} \)

এখন, আমরা \( y = \frac{1}{2x} \) ধরি। তাহলে, যখন \( x \to \infty \), তখন \( y \to 0 \)। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: 🤩

\( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin \left( \frac{a}{2x} \right)}{\frac{1}{2x}} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin (ay)}{y} \)

এইবার, আমরা \( a \) দিয়ে গুণ ও ভাগ করি: 🧐

\( \lim_{y \to 0} \frac{\sin (ay)}{y} = \lim_{y \to 0} a \cdot \frac{\sin (ay)}{ay} = a \cdot \lim_{y \to 0} \frac{\sin (ay)}{ay} \)

যেহেতু \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), তাই \( \lim_{y \to 0} \frac{\sin (ay)}{ay} = 1 \)। অতএব: 😎

\( a \cdot \lim_{y \to 0} \frac{\sin (ay)}{ay} = a \cdot 1 = a \)

সুতরাং, \( \lim_{x \to \infty} 2x \sin \left( \frac{a}{2x} \right) = a \)। 🎉

উত্তর: \( a \) 🥳