যদি 0 < x < 1 a হয় তাহলে \( \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx+c} \) এর মান কত?
প্রশ্ন: যদি \(0 < x < 1\) হয়, তাহলে \( \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx+c} \) এর মান কত?
সমাধান:
ধরি, \( L = \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx+c} \)
উভয় পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,
\( \ln L = \lim_{x \to 0} \ln (1 + ax)^{bx+c} \)
\( \ln L = \lim_{x \to 0} (bx+c) \ln (1 + ax) \)
যেহেতু \( \lim_{x \to 0} \ln(1+ax) = \ln(1+0) = \ln(1) = 0 \) এবং \( \lim_{x \to 0} (bx+c) = c \), সুতরাং
\( \ln L = \lim_{x \to 0} (bx+c) \cdot \lim_{x \to 0} \ln (1 + ax) \)
\( \ln L = c \cdot 0 = 0 \)
সুতরাং, \( \ln L = 0 \)
অতএব, \( L = e^0 = 1 \). 🤔
এখন, অন্যভাবে চিন্তা করি।
\( L = \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx+c} \)
\( L = \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx} \cdot (1 + ax)^{c} \)
\( \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{c} = (1 + 0)^{c} = 1 \)
আবার,
\( \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx} = \lim_{x \to 0} e^{\ln (1 + ax)^{bx}} \)
\( = \lim_{x \to 0} e^{bx \ln (1 + ax)} \)
\( = e^{\lim_{x \to 0} bx \ln (1 + ax)} \)
যেহেতু, \(\lim_{x \to 0} x \ln(1+ax) = 0\), তাই
\( = e^{b \cdot 0} = e^0 = 1 \)
তাহলে, \(L = 1 \cdot 1 = 1 \). 😥
আবারো অন্যভাবে:
\( \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx+c} = \lim_{x \to 0} e^{(bx+c) \ln(1+ax)} \)
\( = e^{\lim_{x \to 0} (bx+c) \ln(1+ax)} \)
এখন, \( \lim_{x \to 0} (bx+c) \ln(1+ax) = \lim_{x \to 0} (bx+c) \cdot \lim_{x \to 0} \ln(1+ax) \)
\( = c \cdot \ln(1+0) = c \cdot 0 = 0 \)
সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx+c} = e^0 = 1 \). 😔
কিন্তু যদি \(x \to \infty\) হত, তাহলে উত্তর অন্যরকম হত। 🤔
আচ্ছা, \( \lim_{x \to 0} (1 + ax)^{bx+c} = (1+0)^{0+c} = 1^c = 1 \).
তাহলে উত্তর \(1\).
```