যদি k>0 হয়, তবে lim_(x→0) x^(x^k) এর মান কত? 

🤔 প্রশ্ন: যদি \(k > 0\) হয়, তবে \(\lim_{x \to 0} x^{(x^k)}\) এর মান কত?

💡 উত্তর: 1

📝 ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, \(\lim_{x \to 0} x^{(x^k)}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, \(y = x^{(x^k)}\)

উভয় পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,

\(\ln y = \ln (x^{(x^k)})\)

\(\ln y = x^k \ln x\)

এখন, \(\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} (x^k \ln x)\)

আমরা \(\lim_{x \to 0} (x^k \ln x)\) এর মান বের করব। এটিকে \(0 \cdot (-\infty)\) আকারের indeterminate form বলা হয়।

আমরা লিখতে পারি,

\(\lim_{x \to 0} (x^k \ln x) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{x^{-k}}\)

এটি এখন \(\frac{-\infty}{\infty}\) আকারের indeterminate form। তাই এখানে L'Hôpital's rule ব্যবহার করা যায়।

L'Hôpital's rule অনুসারে,

\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{x^{-k}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-k x^{-k-1}}\)

\(= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{k+1}}{-k}\)

\(= \lim_{x \to 0} \frac{x^k}{-k}\)

যেহেতু \(k > 0\), \(\lim_{x \to 0} x^k = 0\)

সুতরাং, \(\lim_{x \to 0} \frac{x^k}{-k} = \frac{0}{-k} = 0\)

তাহলে, \(\lim_{x \to 0} \ln y = 0\)

অতএব, \(\ln (\lim_{x \to 0} y) = 0\)

\(\lim_{x \to 0} y = e^0\)

\(\lim_{x \to 0} y = 1\)

সুতরাং, \(\lim_{x \to 0} x^{(x^k)} = 1\)

✅ সুতরাং, উত্তর: 1