lim x→0 sin 9x − sin 7x / sin 7x − sin 5x = ?

প্রশ্নঃ

lim_x→0 \(\dfrac{\sin 9x - \sin 7x}{\sin 7x - \sin 5x}\)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা ট্রিগনোমেট্রিক উপসর্গের জন্য সংক্ষিপ্ত রূপ ব্যবহার করব।

সাধারণ সূত্র: \(\sin A - \sin B = 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2}\)

তাহলে, উপরের অংকনটি লিখি:

\[ \sin 9x - \sin 7x = 2 \cos \dfrac{9x + 7x}{2} \sin \dfrac{9x - 7x}{2} = 2 \cos 8x \sin x \]

এবং,

\[ \sin 7x - \sin 5x = 2 \cos \dfrac{7x + 5x}{2} \sin \dfrac{7x - 5x}{2} = 2 \cos 6x \sin x \]

অতএব, মূল সীমা হবে:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cos 8x \sin x}{2 \cos 6x \sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 8x}{\cos 6x} \]

যেহেতু, \(\lim_{x \to 0} \cos kx = 1\) (যেকোনো ধ্রুবক \(k\) এর জন্য),

অতএব,

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 8x}{\cos 6x} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

অতএব, উত্তর হলো: 1