\( \lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{2x}}{\ln(1 - x)} = ? \)

প্রশ্নঃ

প্রতিশ্রুতি:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{2x}}{\ln(1 - x)}
\]

সমাধান:

প্রথমে, উভয় টার্মের জন্য টেইলর সিরিজ এক্সপেনশান ব্যবহার করি।

এ) \( e^{2x} \) এর টেইলর সিরিজ:

\[
e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \cdots = 1 + 2x + 2x^2 + \cdots
\]

\[
1 - e^{2x} = 1 - \left( 1 + 2x + 2x^2 + \cdots \right) = -2x - 2x^2 + \cdots
\]

\[
\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots
\]

\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{2x}}{\ln(1 - x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x - 2x^2 + \cdots}{-x - \frac{x^2}{2} + \cdots}
\]

\[
= \lim_{x \to 0} \frac{-2x (1 + x + \cdots)}{-x (1 + \frac{x}{2} + \cdots)} 
\]

\[
= \lim_{x \to 0} \frac{-2x}{-x} \times \frac{1 + x}{1 + \frac{x}{2}}
\]

\[
\frac{-2x}{-x} = 2
\]

\[
= 2 \times \lim_{x \to 0} \frac{1 + x}{1 + \frac{x}{2}} = 2 \times \frac{1 + 0}{1 + 0} = 2
\]

\[
\boxed{2}
\]