\( (1-x)^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^5 \) এর সহগ কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( (1 - x)^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^5 \) এর সহগ কোনটি?

সমাধান:

আমরা জানি যে, বাইনারি বিস্তৃতি (Binomial expansion) অনুযায়ী:

\[ (1 - x)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (1)^{8-k} (-x)^k \] এখানে, \(\binom{8}{k}\) হলো কম্বিনেটোরিয়াল কোফিসিয়েন্ট।

বিস্তৃতির সাধারণ টার্ম হল:

\[ \binom{8}{k} \times 1^{8-k} \times (-x)^k = \binom{8}{k} \times (-1)^k \times x^k \]

আমাদের লক্ষ্য হলো ঐ টার্ম যেখানে \(x^5\) আছে। অর্থাৎ, \(k=5\)।

অতএব, \(x^5\) এর সহগ হবে:

\[ \binom{8}{5} \times (-1)^5 \]

গণনা করি:

\[ \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} \]

ইহা হয়:

\[ \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56 \]

অতএব, সহগ হবে:

\[ 56 \times (-1)^5 = 56 \times -1 = -56 \]

অতএব, \( (1 - x)^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^5 \) এর সহগ হলো -56.