y²=8x+5 পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কোনটি?

প্রশ্ন: \( y^2 = 8x + 5 \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কোনটি?

সমাধান:

1. প্রথমে, সমীকরণটিকে সাধারণ পরাবৃত্তের রূপে লেখি।
2. প্রতিক্রিয়া: \( y^2 = 8x + 5 \)
3. অন্যভাবে লেখা যায়: \( y^2 = 8(x + \frac{5}{8}) \)
4. এখানে, পরাবৃত্তের মানচিত্রে এটি হলো: \( y^2 = 4ax \) এর আকারে, যেখানে \( 4a = 8 \) অর্থাৎ, \( a = 2 \)।
5. শীর্ষবিন্দু (vertex) এর জন্য, সাধারণত, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু হলো সেই বিন্দু যেখানে x এর মানটি থাকে, যা পরাবৃত্তের কেন্দ্র বা মূল বিন্দু।
6. এখানে, মূল বিন্দুটি হলো \(-\frac{5}{8}\) যেখানে \( y = 0 \)।
7. তাই, শীর্ষবিন্দুটি হলো: \( (x, y) = \left( -\frac{5}{8}, 0 \right) \).
8. তবে, প্রশ্নে নির্দিষ্টভাবে শীর্ষবিন্দু চাওয়া হয়েছে।
9. প্রথমে, পরাবৃত্তের উপরের অংশের শীর্ষবিন্দু বা vertex নির্ণয় ???রি।
10. এটি হলো, যখন \( y = 0 \), তখন \( x = -\frac{5}{8} \)।
11. অন্যদিকে, শীর্ষবিন্দুটি যেখানে \( y \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন, সেটি হলো \( y \)-অক্ষের মানের জন্য।
12. চেক করি: \( y^2 = 8x + 5 \) থেকে, যখন \( y \) সর্বোচ্চ, তখন \( y^2 \) সর্বোচ্চ।
13. শীর্ষবিন্দুতে, \( y \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান হবে, এবং তা হবে যখন \( x \) নির্দিষ্ট মানে থাকে।
14. এটি নিশ্চিত করতে, আমরা \( y \) এর জন্য \( x \) নির্ণয় করি যেখানে \( y^2 \) সর্বোচ্চ।
15. অতএব, প্রথমে, \( y^2 \) সর্বোচ্চ মানে, যখন \( x \) সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ।
16. অথচ, এই ধরনের পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু হলো, যেখানে \( y \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন।
17. এখানে, সমীকরণে \( y^2 = 8x + 5 \), তাই, \( y \) এর মান সর্বোচ্চ হয় যখন \( x \) সর্বোচ্চ।
18. কিন্তু, \( x \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন নির্ণয় করতে, সমীকরণ থেকে \( x \) নির্ণয় করি:

প্রথমে, \( y^2 = 8x + 5 \) থেকে,

\( x = \frac{y^2 - 5}{8} \)

শীর্ষবিন্দুতে, যেখানে \( y \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন, সেটি হলো, যেখানে \( y \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন।

অতঃপর, \( y \) এর সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান পেতে, আমরা সমীকরণ নিয়ে কাজ করি।

যেহেতু \( y^2 = 8x + 5 \), তাহলে \( y \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হবে যখন \( y^2 \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন।

চলুন, \( y \) এর জন্য \( x \) নির্ণয় করি:

x = \frac{y^2 - 5}{8}

উল্লেখ্য, \( y^2 \geq 0 \), তাই, শীর্ষবিন্দুতে, \( y \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হবে যখন \( y^2 \) সর্বোচ্চ, অর্থাৎ, যত বড় বা ছোট মানে।

অতএব, এই পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু হলো যেখানে \( y \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন।

চলুন, প্রথমে, \( y \) এর মান নির্ণয় করি।

আমরা জানি, \( y^2 = 8x + 5 \)।

শীর্ষবিন্দুতে, যেখানে \( y \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন, তখন, \( y \) এর মান নির্ণয় করতে, \( y^2 \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানে।

তাই, \( y^2 \) এর সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানে, যখন \( y \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন।

এটি বোঝানোর জন্য, সমীকরণে \( y^2 \) এর মান নির্ণয় করি।

আমরা জানি, \( y^2 = 8x + 5 \), তাহলে, শীর্ষবিন্দুতে, যখন \( y \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন, তখন \( x \) এর মান নির্ণয় করি।

অতঃপর, যেখানে \( y \) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন, সেটি হলো, যেখানে \( y \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন।

অতএব, মূলত, এই পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুটি হলো: \( (x, y) = \left( -\frac{5}{8}, 0 \right) \)।

তবে, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর দেখানো হয়েছে: (0, 5/8)।

এটি সঠিক নয়, কারণ উপরের গণনানুযায়ী, শীর্ষবিন্দুটি হলো: \( \left( -\frac{5}{8}, 0 \right) \)।

সুতরাং, উত্তর: \( \boxed{ \left( -\frac{5}{8}, 0 \right) } \)