সরল দোলন গতিসম্পন্ন একটি কণার সরন-
x=√3 sin 2πtমিটার
সাম্যাবস্থান থেকে 1m দূরে কণাটির গতিশক্তি ও বিভব শক্তির অনুপাত কত?
Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, সরল দোলনটির স্থানাঙ্ক:
\[
x(t) = \sqrt{3} \sin 2\pi t \text{ (মিটার)}
\]
সাম্যাবস্থানে (অর্থাৎ, সর্বোচ্চ বিন্দুতে):
\[
x_{max} = \sqrt{3} \text{ m}
\]
অর্থাৎ, এর মান 1.732 মিটার, যা স্বাভাবিকভাবে দোলনের অক্ষের থেকে দূরত্ব।
প্রথমে কণার গতি (v):
\[
v(t) = \frac{dx}{dt}
\]
নিয়মিত:
\[
x(t) = A \sin \omega t, যেখানে \(A = \sqrt{3}\), \(\omega = 2\pi\)
অতএব,
\[
v(t) = A \omega \cos \omega t
\]
সাম্যাবস্থানে (অর্থাৎ, যখন \(x = 1\,m\)):
\[
x = A \sin \omega t = 1
\]
\[
\Rightarrow \sin \omega t = \frac{1}{A} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
তাহলে,
\[
\cos \omega t = \sqrt{1 - \sin^2 \omega t} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
\]
এখন, কণার গতি:
\[
v = A \omega \cos \omega t = \sqrt{3} \times 2\pi \times \frac{\sqrt{6}}{3}
\]
সরলীকরণ:
\[
v = ( \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6}}{3} ) \times 2\pi
\]
প্রথম অংশ:
\[
\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{3 \times 6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}
\]
অতএব,
\[
v = \sqrt{2} \times 2\pi = 2\pi \sqrt{2}
\]
গতি:
\[
v = 2\pi \sqrt{2} \text{ m/s}
\]
গতি শক্তি (\(K\)):
\[
K = \frac{1}{2} m v^2
\]
বিভব শক্তি (\(U\)):
\[
U = \frac{1}{2} k x^2
\]
সাধারণত, সরল দোলনের জন্য:
\[
k = m \omega^2
\]
অতএব,
\[
U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2
\]
তাহলে, অনুপাত:
\[
\frac{K}{U} = \frac{\frac{1}{2} m v^2}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{v^2}{\omega^2 x^2}
\]
মূল্যমান:
\[
v^2 = (2\pi \sqrt{2})^2 = 4\pi^2 \times 2 = 8 \pi^2
\]
\[
x = 1\,m
\]
\[
\omega = 2\pi
\]
অতএব,
\[
\frac{K}{U} = \frac{8 \pi^2}{(2\pi)^2 \times 1^2} = \frac{8 \pi^2}{4 \pi^2} = 2
\]
তাই, সরল দোলনের নির্দিষ্ট অবস্থানে কণাটির গতিশক্তি ও বিভব শক্তির অনুপাত:
\[
\boxed{2}
\]
উত্তর: 2
