Two discs A and B are mounted coaxially on a vertical axle. The discs have moments of inertia I and 21, respectively about the common axis. Disc A is imparted an initial angular velocity 2 omega using the entire potential energy of a spring compressed by a distance x₁. Disc B is imparted an angular velocity omega by a spring having the same spring constant and compressed by a distance x₂. Both the discs rotate in the clockwise direction. The ratio of  x_1/x_2 is-

সমাধান:

আমাদের দেওয়া আছে:

• ডিস্ক A-এর জড়তা ভ্রামক (Moment of Inertia): \(I\)
• ডিস্ক B-এর জড়তা ভ্রামক: \(2I\)
• ডিস্ক A-এর কৌণিক বেগ (Angular velocity): \(2\omega\)
• ডিস্ক B-এর কৌণিক বেগ: \(\omega\)
• স্প্রিং ধ্রুবক (Spring constant) উভয় ক্ষেত্রে একই: \(k\)
• ডিস্ক A-এর জন্য স্প্রিং-এর সংকোচন (Compression): \(x_1\)
• ডিস্ক B-এর জন্য স্প্রিং-এর সংকোচন: \(x_2\)

স্প্রিং-এর স্থিতিশক্তি (Potential energy) = \(\frac{1}{2} k x^2\), যেখানে \(x\) হল স্প্রিং-এর সংকোচন। এই স্থিতিশক্তি ডিস্কের ঘূর্ণন গতিশক্তিতে (Rotational Kinetic Energy) রূপান্তরিত হয়। ঘূর্ণন গতিশক্তি = \(\frac{1}{2} I \omega^2\), যেখানে \(I\) হল জড়তা ভ্রামক এবং \(\omega\) হল কৌণিক বেগ।

ডিস্ক A-এর জন্য:

\(\frac{1}{2} k x_1^2 = \frac{1}{2} I (2\omega)^2\)
\(\Rightarrow k x_1^2 = 4 I \omega^2\) ...(1)

ডিস্ক B-এর জন্য:

\(\frac{1}{2} k x_2^2 = \frac{1}{2} (2I) (\omega)^2\)
\(\Rightarrow k x_2^2 = 2 I \omega^2\) ...(2)

এখন, সমীকরণ (1) কে সমীকরণ (2) দিয়ে ভাগ করে পাই:

\(\frac{k x_1^2}{k x_2^2} = \frac{4 I \omega^2}{2 I \omega^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x_1^2}{x_2^2} = 2\)
\(\Rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \sqrt{2}\)

অতএব, \(\frac{x_1}{x_2}\) এর মান হল \(\sqrt{2}\)। 🎉