Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রথমে, ধরা যাক বৃত্তের সমীকরণ হল:
\[
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
\]
এবং এই বৃত্তটি বিন্দু \( (x_1, y_1) \) ও \( (x_2, y_2) \) এ স্পর্শ করে।
আমাদের লক্ষ্য হলো, এই বৃত্তটি বিন্দু \( (5,0) \) এবং \( (0,5) \) এ স্পর্শ করবে। অর্থাৎ, এই দুই বিন্দু বৃত্তের স্পর্শ বিন্দু।
---
**ধাপ 1:** বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়
প্রথমে, আমরা জানি যে, এই বৃত্তটি দুইটি বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি বৃত্তটি ওই দুই বিন্দুতে স্পর্শ করে, তবে সেই বৃত্তের কেন্দ্র সেই দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী লাইন বরাবর অবস্থিত, কারণ স্পর্শ বিন্দু দুটি বিন্দুর সমান্তরাল লাইন বরাবর।
অথবা, এই দুটি বিন্দু থেকে বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দূরত্ব থাকবে, কারণ তারা স্পর্শ বিন্দু।
**ধাপ 2:** স্পর্শ বিন্দুগুলির জন্য সমীকরণ নির্ণয়
বৃত্তের কেন্দ্র হোক \( (h, k) \) এবং ব্যাসার্ধ হোক \( r \)।
তাহলে, স্পর্শ বিন্দুগুলির জন্য সমীকরণ হবে:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
এবং, বিন্দু \( (5, 0) \) ও \( (0, 5) \):
\[
(5 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2 \quad ...(1)
\]
\[
(0 - h)^2 + (5 - k)^2 = r^2 \quad ...(2)
\]
অতএব, (1) ও (2) থেকে:
\[
(5 - h)^2 + k^2 = h^2 + (5 - k)^2
\]
বিন্যাস করি:
\[
(25 - 10h + h^2) + k^2 = h^2 + (25 - 10k + k^2)
\]
সরলীকরণ করি:
\[
25 - 10h + h^2 + k^2 = h^2 + 25 - 10k + k^2
\]
দুটি পাশ থেকে সমান হবার জন্য, সব টার্ম বাদ দিলে:
\[
25 - 10h + h^2 + k^2 = h^2 + 25 - 10k + k^2
\]
অতএব:
\[
-10h = -10k
\]
অর্থাৎ:
\[
h = k
\]
---
**ধাপ 3:** কেন্দ্রের সমীকরণ নির্ণয়
এখন, \( h = k \)।
প্রতিটি বিন্দুর জন্য:
\[
r^2 = (5 - h)^2 + (0 - h)^2
\]
\[
r^2 = (0 - h)^2 + (5 - h)^2
\]
উভয় সমীকরণ একই হবে। এখন, \( h = k \) থাকলে:
\[
r^2 = (5 - h)^2 + h^2
\]
অর্থাৎ,
\[
r^2 = (25 - 10h + h^2) + h^2 = 25 - 10h + 2h^2
\]
---
**ধাপ 4:** বৃত্তের সমীকরণে মান বসানো
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:
\[
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
\]
এখানে,
\[
h = -g, \quad k = -f
\]
এবং, কারণ \( h = k \), তাই:
\[
g = -h, \quad f = -h
\]
বৃত্তের ব্যাসার্ধের স্কোয়ার:
\[
r^2 = h^2 + k^2 - 2g h - 2f k + c
\]
অথবা,
\[
r^2 = h^2 + h^2 - 2(-h) h - 2(-h) h + c
\]
সরলীকরণ:
\[
r^2 = 2h^2 + 2h^2 + c = 4h^2 + c
\]
তাই,
\[
c = r^2 - 4h^2
\]
আমরা আগেই জানি,
\[
r^2 = 25 - 10h + 2h^2
\]
অতএব,
\[
c = (25 - 10h + 2h^2) - 4h^2 = 25 - 10h - 2h^2
\]
---
**ধাপ 5:** সমীকরণের ফর্মে আনয়ন
সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ হল:
\[
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
\]
যেখানে,
\[
g = -h, \quad f = -h, \quad c = 25 - 10h - 2h^2
\]
আর, \( h = k \) থেকে, আমরা \( h \) নির্ণয় করি।
---
**ধাপ 6:** বৃত্তটি স্পর্শ করছে যেখানে
উল্লেখ্য, এই বৃত্তটি \( (5,0) \) ও \( (0,5) \) বিন্দুতে স্পর্শ করছে। অর্থাৎ, এই বিন্দুগুলোর জন্য বৃত্তের সমীকরণের মান শর্ত পূরণ করে।
অতএব, \( (5,0) \):
\[
(5)^2 + (0)^2 + 2g (5) + 2f (0) + c = 0
\]
\[
25 + 0 + 10g + 0 + c = 0
\]
এবং, \( (0,5) \):
\[
0 + 25 + 0 + 10f + c = 0
\]
বলা হলো, \( g = -h \), \( f = -h \), ও \( c = 25 - 10h - 2h^2 \)।
তাই,
\[
25 + 10(-h) + 25 - 10h - 2h^2 = 0
\]
অথবা,
\[
25 - 10h + 25 - 10h - 2h^2 = 0
\]
\[
50 - 20h - 2h^2 = 0
\]
দুটি ভাগ করি 2 দ্বারা:
\[
25 - 10h - h^2 = 0
\]
এটি একটি কোয়াড্রেটিক সমীকরণ:
\[
h^2 + 10h - 25 = 0
\]
সমাধান করি:
\[
h = \frac{-10 \pm \sqrt{(10)^2 - 4 \times 1 \times (-25)}}{2 \times 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 100}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{200}}{2}
\]
\[
h = \frac{-10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = -5 \pm 5\sqrt{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
h_1 = -5 + 5\sqrt{2}
\]
\[
h_2 = -5 - 5\sqrt{2}
\]
---
**ধাপ 7:** সমীকরণ নির্ণয়
প্রতিটি মানের জন্য,
\[
g = -h, \quad f = -h
\]
\[
c = 25 - 10h - 2h^2
\]
উপস্থাপন করি:
**প্রথম মান:**
\[
h = -5 + 5\sqrt{2}
\]
\[
g = -(-5 + 5\sqrt{2}) = 5 - 5\sqrt{2}
\]
\[
f = 5 - 5\sqrt{2}
\]
\[
c = 25 - 10(-5 + 5\sqrt{2}) - 2(-5 + 5\sqrt{2})^2
\]
গণনা করি:
\[
c = 25 + 50 - 50\sqrt{2} - 2 [(-5 + 5\sqrt{2})^2]
\]
প্রথম,
\[
(-5 + 5\sqrt{2})^2 = 25 - 50\sqrt{2} + 50
\]
অতএব,
\[
c = 75 - 50\sqrt{2} - 2 (75 - 50\sqrt{2})
\]
\[
c = 75 - 50\sqrt{2} - 150 + 100\sqrt{2}
\]
\[
c = (75 - 150) + (-50\sqrt{2} + 100\sqrt{2}) = -75 + 50\sqrt{2}
\]
সুতরাং, সমীকরণটি:
\[
x^2 + y^2 + 2(5 - 5\sqrt{2})x + 2(5 - 5\sqrt{2})y + (-75 + 50\sqrt{2}) = 0
\]
একইভাবে, দ্বিতীয় মানের জন্য:
\[
h = -5 - 5\sqrt{2}
\]
\[
g = 5 + 5\sqrt{2}
\]
\[
f = 5 + 5\sqrt{2}
\]
\[
c = 75 + 50\sqrt{2}
\]
অতএব, দ্বিতীয় সমীকরণ হল:
\[
x^2 + y^2 + 2(5 + 5\sqrt{2})x + 2(5 + 5\sqrt{2})y + (75 + 50\sqrt{2}) = 0
\]
---
### **উপসংহার:**
প্রথম বৃত্তের সমীকরণ:
\[
x^2 + y^2 + 2(5 - 5\sqrt{2})x + 2(5 - 5\sqrt{2})y + (-75 + 50\sqrt{2}) = 0
\]
দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ:
\[
x^2 + y^2 + 2(5 + 5\sqrt{2})x + 2(5 + 5\sqrt{2})y + (75 + 50\sqrt{2}) = 0
\]
**এবং, এই দুটি বৃত্ত সেই বিন্দু দুটিতে স্পর্শ করবে।**
