\( (-9,9) \) এবং \( (5,5) \) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ-

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের দেওয়া দুইটি বিন্দু হলঃ \[ A(-9, 9), \quad B(5, 5) \] আমাদের লক্ষ্য হলো, এই দুই বিন্দু দিয়ে একটি চতুর্ভুজের সংযোগ রেখাংশের মাঝখানে অবস্থিত এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ খুঁজে বের করা, যার ব্যাস এই রেখাংশ। অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র হবে রেখাংশের মধ্যবিন্দু এবং ব্যাস হবে \(AB\)।

ধাপ ১: রেখাংশের মধ্যবিন্দু নির্ণয়

\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] \[ M_x = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ M_y = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] অর্থাৎ, রেখাংশের মাঝবিন্দু হলো: \[ M(-2, 7) \]

ধাপ ২: রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় (ব্যাসের দৈর্ঘ্য)

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] \[ AB = \sqrt{(5 - (-9))^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{(14)^2 + (-4)^2} = \sqrt{196 + 16} = \sqrt{212} \] সুতরাং, ব্যাসের দৈর্ঘ্য হলো: \[ d = \sqrt{212} \]

ধাপ ৩: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসের সমীকরণ

বৃত্তের কেন্দ্র: \[ C(-2, 7) \] বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{212}}{2} = \frac{2\sqrt{53}}{2} = \sqrt{53} \] বৃত্তের সমীকরণ: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] যেখানে, \( (h, k) \) হচ্ছে কেন্দ্র বিন্দু। অর্থাৎ, \[ (x + 2)^2 + (y - 7)^2 = (\sqrt{53})^2 = 53 \]

ধাপ ৪: সাধারণ রূপে সমীকরণ প্রকাশ

\[ (x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 53 \] বিস্তার করি: \[ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 14y + 49 = 53 \] \[ x^2 + 4x + y^2 - 14y + (4 + 49) = 53 \] \[ x^2 + 4x + y^2 - 14y + 53 = 53 \] উভয় পাশে 53 কমাই: \[ x^2 + 4x + y^2 - 14y = 0 \] সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ \boxed{ x^2 + y^2 + 4x - 14y = 0 } \]