রেডনের অর্ধায়ু 3.5 দিন হলে_

কত দিনে এক খণ্ড রেডনের 60% ক্ষয় হবে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে যে, রেডনের অর্ধায়ু \(t_{1/2} = 3.5\) দিন। আমাদের লক্ষ্য হলো জানতে, কত দিনে রেডনের 60% ক্ষয় হবে। অর্থাৎ, রেডনের স্থিতিশীল আউটো ক্ষয় হবে 60%, অর্থাৎ অবশিষ্ট থাকবে 40% তার মূল পরিমাণের।

ধাপ ১: ক্ষয়ের অনুপাত নির্ণয়

যেহেতু ক্ষয় প্রক্রিয়াটি সাধারণত ব্যাকটেরিয়ার মতোই একটিই রেডন ক্ষয় হয়, যেখানে ক্ষয়ের জন্য প্রথম অর্ধায়ু ব্যবহৃত হয়।

অর্থাৎ, ক্ষয়প্রক্রিয়ার জন্য অর্ধায়ু সময় \(t_{1/2}\) দিয়ে হিসাব করলে, নির্দিষ্ট সময়ে অবশিষ্ট অংশের পরিমাণ \(N\) হবে:

\[ N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_{1/2}}} \] যেখানে, \(N_0\) মূল পরিমাণ।

ধাপ ২: অবশিষ্ট পরিমাণ নির্ণয়

আমাদের উদ্দেশ্য হলো, ক্ষয় 60% মানে অবশিষ্ট থাকবে 40%। অর্থাৎ,

\[ \frac{N}{N_0} = 0.4 \] অতএব, \[ 0.4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3.5}} \]

ধাপ ৩: সমাধান করা

প্রথমে, উভয় পাশে লঘুগুণ (logarithm) নেওয়া যাক:

\[ \log 0.4 = \frac{t}{3.5} \times \log \frac{1}{2} \] \[ t = 3.5 \times \frac{\log 0.4}{\log \frac{1}{2}} \] উল্লেখ্য, \(\log \frac{1}{2} = - \log 2\), এবং \(\log 0.4\) এর মান নির্ণয় করলে:

ধাপ ৪: মান নির্ণয়

প্রায়: \(\log 0.4 \approx -0.3979\)

এবং, \(\log 2 \approx 0.3010\)

অতএব, \[ t = 3.5 \times \frac{-0.3979}{-0.3010} \approx 3.5 \times 1.322 \] \[ t \approx 4.627 \text{ দিন} \] উপসংহার:

অতএব, রেডনের 60% ক্ষয় হবে আনুমানিক **4.63 দিন**।

উত্তর: 4.63 দিন