\( \left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} \) এর বিস্তৃতিতে \( x \) বর্জিত পদ কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} \) এর বিস্তৃতিতে \( x \) বর্জিত পদ কোনটি? সমাধানঃ ধরি, \( \left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} \) এটি একটি বাইনারি বিস্তার। সাধারণত, \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] এখানে, \( a = 3x \) এবং \( b = - \frac{2}{x^2} \) তাহলে, বিস্তার হবে: \[ \left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} (3x)^{15 - k} \left( - \frac{2}{x^2} \right)^k \] প্রতিটি পদে, \[ = \binom{15}{k} \cdot 3^{15 - k} x^{15 - k} \cdot (-1)^k \cdot 2^k \cdot x^{-2k} \] সমাধান করি: \[ = \binom{15}{k} \cdot 3^{15 - k} \cdot (-1)^k \cdot 2^k \cdot x^{15 - k - 2k} \] \[ = \binom{15}{k} \cdot 3^{15 - k} \cdot (-1)^k \cdot 2^k \cdot x^{15 - 3k} \] এখন, \( x \) বর্জিত পদটির জন্য, \[ 15 - 3k = 0 \] সমাধান করি: \[ 15 = 3k \Rightarrow k = \frac{15}{3} = 5 \] অতএব, \( k = 5 \) হলে, পদটি \( x \) বর্জিত হবে। পদটি হলো: \[ \binom{15}{5} \cdot 3^{15 - 5} \cdot (-1)^5 \cdot 2^5 \] গণনা করি: \[ \binom{15}{5} = 3003 \] \[ 3^{10} = (3^5)^2 = (243)^2 = 59049 \] \[ (-1)^5 = -1 \] \[ 2^5 = 32 \] অতএব, পদটি হলো: \[ 3003 \times 59049 \times (-1) \times 32 \] সংখ্যাগুলি গুণ করি: প্রথমে, \[ 3003 \times 59049 = 177,331,647 \] তারপর, \[ 177,331,647 \times 32 = 5,674,612,704 \] প্রতিবন্ধক হিসেবে, চূড়ান্ত মানের চেয়ে উপসংহার বেশি গুরুত্বপূর্ণ নয়। মূলত, প্রশ্নের জন্য পদটির ক্রম \( k = 5 \)। সুতরাং, বিস্তৃতির \( x \) বর্জিত পদটি হল **6 তম পদ** (কারণ প্রথম পদটি \( k=0 \) থেকে গণনা শুরু হয়)। **উত্তর:** 6 তম পদ ```html

সমাধান:

প্রদত্ত বিস্তৃতি: \( \left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} \)

বিস্তৃতির সাধারণ পদ:

T_{k+1} = \binom{15}{k} \cdot 3^{15 - k} \cdot (-1)^k \cdot 2^k \cdot x^{15 - 3k}

যেখানে, \( x \) বর্জিত পদটির জন্য:

15 - 3k = 0
\Rightarrow k = 5

অতএব, \( k=5 \) হলে পদটি \( x \) মুক্ত হয়।

পদটির ক্রম (অর্থাৎ, পদ সংখ্যা): \( k + 1 = 6 \)

অতএব, উত্তর হচ্ছে: 6 তম

```