(x^2)/(a^2) +(y^2)/(b^2)=1 উপবৃত্তের নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য কত-

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

উপবৃত্তের নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে নাভিলম্বের সংজ্ঞা বোঝা দরকার।

নাভিলম্ব হলো এমন একটি অক্ষের উপর অবস্থিত লম্বরেখা যা উপবৃত্তের দুইটির উপবৃত্তের উপর স্পর্শ করে।

উপবৃত্তের কেন্দ্রে \((0,0)\) এবং এর অক্ষসমূহের দৈর্ঘ্য \(2a\) ও \(2b\)।

নাভিলম্বের জন্য, অক্ষের সাথে সমান্তরাল লাইন সমাধান করতে হবে যেখানে উপবৃত্তের টানেগেন্ট লাইন স্পর্শ করে।

অধিক তথ্যের জন্য, আমরা জানি যে, নাভিলম্বের সম্পর্ক হল:

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

যেখানে, প্লেসে অক্ষের উপর অবস্থান করে, তাহলে অক্ষের সমান্তরাল লাইনটি হবে \(x = \pm c\) বা \(y = \pm c\)।

চলুন ধরি, \(x = c\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণে প্রবেশ করি:

\(\frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

এখন, \(\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{c^2}{a^2}\)

অর্থাৎ,

\(y^2 = b^2 \left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right) = b^2 - \frac{b^2 c^2}{a^2}\)

সুতরাং,

\(y = \pm \sqrt{b^2 - \frac{b^2 c^2}{a^2}}\)

নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে, যেহেতু এটি অক্ষের উপর অবস্থিত, তাই এটি হবে দুইটি সমান দূরত্বের অক্ষের উপর, অর্থাৎ,

\[ \text{নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য} = 2 \times y = 2 \sqrt{b^2 - \frac{b^2 c^2}{a^2}} \]

উপবৃত্তের স্বাভাবিক নিয়মে, যখন টানেগেন্ট লাইন অক্ষের উপর থাকে, তখন তার দূরত্ব থেকে নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় হয়।

আমাদের লক্ষ্য হল, নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে, যেখানে অক্ষের উপর টানেগেন্ট লাইন স্পর্শ করে।

এখানে, যদি অক্ষের উপর টানেগেন্ট লাইন হয়, তাহলে এর দূরত্ব থেকে নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা হবে:

\[ \text{নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য} = \frac{2b^2}{a} \]

অতএব, উপবৃত্তের নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হল: \(\frac{2b^2}{a}\)