x^y​ = y^x​ হলে, dy/dx =  ?​​​​​​

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( x^{y} = y^{x} \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) কী হবে? সমাধান: প্রথমে, সমীকরণটি লঘু করে লিখি: \[ x^{y} = y^{x} \] এখন উভয় পক্ষের লগ নেব: \[ \ln(x^{y}) = \ln(y^{x}) \] বিপরীত নিয়ম অনুযায়ী: \[ y \ln x = x \ln y \] অতএব, \[ y \ln x - x \ln y = 0 \] এখন, এই সমীকরণটি থেকে \( y \) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয় করব। প্রথমে, ডেরিভেটিভ নিন উভয় পক্ষের respect\(\frac{d}{dx}\): \[ \frac{d}{dx} [ y \ln x - x \ln y ] = 0 \] চালনা করি: \[ \frac{d}{dx} ( y \ln x ) - \frac{d}{dx} ( x \ln y ) = 0 \] প্রথম অংশ: \[ \frac{d}{dx} ( y \ln x ) = y' \ln x + y \cdot \frac{1}{x} \] দ্বিতীয় অংশ: \[ \frac{d}{dx} ( x \ln y ) = \ln y + x \cdot \frac{1}{y} y' \] অতএব, \[ y' \ln x + \frac{y}{x} - \left( \ln y + \frac{x}{y} y' \right) = 0 \] সাজানো: \[ y' \ln x + \frac{y}{x} - \ln y - \frac{x}{y} y' = 0 \] সংগঠিত করি \( y' \) সম্পর্কিত অংশ: \[ y' \ln x - \frac{x}{y} y' = \ln y - \frac{y}{x} \] ফ্যাক্টর করি \( y' \): \[ y' \left( \ln x - \frac{x}{y} \right) = \ln y - \frac{y}{x} \] অতএব, \[ y' = \frac{\ln y - \frac{y}{x}}{\ln x - \frac{x}{y}} \] উপসংহার: \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{\ln y - \frac{y}{x}}{\ln x - \frac{x}{y}} } \] এখানে, সমীকরণটি মূলত সেই রূপে লেখা হয়েছে যা প্রদানকৃত উত্তরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।