i^m + i^m+1 + i^m+2 + i^m+3 = কত? (m in ZZ)

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( i^m + i^{m+1} + i^{m+2} + i^{m+3} = ? \) যেখানে \( m \in \mathbb{Z} \) উত্তর: "0" সমাধান: প্রথমে, আমাদের জানা দরকার \( i \) এর পজিশনাল মান: \[ i^1 = i \] \[ i^2 = -1 \] \[ i^3 = -i \] \[ i^4 = 1 \] এবং তারপর চক্রাকারে পুনরাবৃত্তি হয়: \( i^n = i^{n \bmod 4} \) তাই, \( i^m \), \( i^{m+1} \), \( i^{m+2} \), \( i^{m+3} \) এর মান নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে \( m \bmod 4 \) নির্ণয় করি। ধরুন: \[ k = m \bmod 4 \] তাহলে, \[ i^m = i^k \] \[ i^{m+1} = i^{k+1} \] \[ i^{m+2} = i^{k+2} \] \[ i^{m+3} = i^{k+3} \] এখন, বিভিন্ন কেস অনুযায়ী সমাধান করি: **কেস 1: \( k = 0 \)** \[ i^k = i^0 = 1 \] \[ i^{k+1} = i^{1} = i \] \[ i^{k+2} = i^{2} = -1 \] \[ i^{k+3} = i^{3} = -i \] সুতরাং, \[ i^m + i^{m+1} + i^{m+2} + i^{m+3} = 1 + i + (-1) + (-i) = (1 - 1) + (i - i) = 0 \] **কেস 2: \( k = 1 \)** \[ i^k = i^1 = i \] \[ i^{k+1} = i^{2} = -1 \] \[ i^{k+2} = i^{3} = -i \] \[ i^{k+3} = i^{4} = 1 \] সুতরাং, \[ i + (-1) + (-i) + 1 = (i - i) + (-1 + 1) = 0 + 0 = 0 \] **কেস 3: \( k = 2 \)** \[ i^k = i^{2} = -1 \] \[ i^{k+1} = i^{3} = -i \] \[ i^{k+2} = i^{4} = 1 \] \[ i^{k+3} = i^{5} = i \] সুতরাং, \[ -1 + (-i) + 1 + i = (-1 + 1) + (-i + i) = 0 + 0 = 0 \] **কেস 4: \( k = 3 \)** \[ i^k = i^{3} = -i \] \[ i^{k+1} = i^{4} = 1 \] \[ i^{k+2} = i^{5} = i \] \[ i^{k+3} = i^{6} = -1 \] সুতরাং, \[ - i + 1 + i + (-1) = (1 - 1) + (-i + i) = 0 + 0 = 0 \] সারাংশে, যেকোনো \( m \) এর জন্য, \[ i^m + i^{m+1} + i^{m+2} + i^{m+3} = 0 \] **অতএব, উত্তর: \(\boxed{0}\)**