একটি সরল দোলকের দোলনকাল 50% বৃদ্ধি করতে এর কার্যকর দৈর্ঘ্য কতগুণ বাড়াতে হবে?

দোলকের দোলনকাল \(T\) সরল দোলকের জন্য নির্ধারিত হয়:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

এখানে, \(L\) হলো দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য এবং \(g\) হলো পৃথিবীর গতি।

ধরি, প্রথম দোলকের দোলনকাল \(T_1\) এবং তার কার্যকর দৈর্ঘ্য \(L_1\)।

অতঃ,

\[ T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L_1}{g}} \]

এবং, নতুন দোলনের দোলনকাল \(T_2 = 1.5 T_1\) (কারণ 50% বৃদ্ধি মানে 1.5 গুণ)।

সুতরাং,

\[ T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{L_2}{g}} \]

যেখানে \(L_2\) হলো নতুন কার্যকর দৈর্ঘ্য।

দুটি সমীকরণ থেকে,

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{L_2}}{\sqrt{L_1}} \]

অর্থাৎ,

\[ 1.5 = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}} \]

এখানে,

\[ \frac{L_2}{L_1} = (1.5)^2 = 2.25 \]

অর্থাৎ, কার্যকর দৈর্ঘ্য কত গুণ বাড়াতে হবে তা হলো:

\[ L_2 = 2.25 \times L_1 \]

এবং, এর মানে, কার্যকর দৈর্ঘ্য প্রায় 2.25 গুণ বাড়াতে হবে।

তবে প্রশ্নে "দোলনকাল ৫০% বৃদ্ধি করতে" এর মানে যদি দোলনকাল ৫০% বৃদ্ধি করতে হয়, তাহলে:

প্রথমে, দোলনকাল বৃদ্ধি: \(T_2 = 1.5 T_1\)

অতএব, কার্যকর দৈর্ঘ্য বাড়ানোর পরিমাণ:

\[ \boxed{L_2 = (1.5)^2 \times L_1 = 2.25 \times L_1} \]

অর্থাৎ, কার্যকর দৈর্ঘ্য প্রায় 1.25 গুণ বাড়াতে হবে।

সুতরাং, উত্তরটি হলো: 1.25