একজন ছাত্রের বাংলা পরীক্ষায় পাশের সম্ভাবনা \( \frac{2}{3} \), বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাশের সম্ভাবনা \( \frac{14}{45} \) এবং দুইটি বিষয়ের যেকোনো একটিতে পাশের সম্ভাবনা \( \frac{4}{5} \) হলে, তার ইংরেজিতে পাশের সম্ভাবনা কত?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেয়া তথ্যসমূহ:

1. বাংলা পাশের সম্ভাবনা, \( P(B) = \frac{2}{3} \)
2. বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাশের সম্ভাবনা, \( P(B \cap E) = \frac{14}{45} \)
3. অন্ততঃ এক বিষয়ে পাশের সম্ভাবনা, \( P(B \cup E) = \frac{4}{5} \)

আমাদের লক্ষ্য: ইংরেজিতে পাশের সম্ভাবনা, \( P(E) \)। প্রথমে, ডানপাশ থেকে গণনা করি: \[ P(B \cup E) = P(B) + P(E) - P(B \cap E) \] অর্থাৎ, \[ \frac{4}{5} = \frac{2}{3} + P(E) - \frac{14}{45} \] সমাধান করি: \[ P(E) = \frac{4}{5} - \frac{2}{3} + \frac{14}{45} \] প্রথম, সমন্বয় করি সব ভগ্নাংশের জন্য: \[ \frac{4}{5} = \frac{36}{45} \] \[ \frac{2}{3} = \frac{30}{45} \] অতএব, \[ P(E) = \frac{36}{45} - \frac{30}{45} + \frac{14}{45} = \frac{36 - 30 + 14}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} \] তাহলে, ইংরেজিতে পাশের সম্ভাবনা: \[ \boxed{\frac{4}{9}} \] উত্তর অনুযায়ী, **"কোনোটিই নয়"**। কারণ, এই সম্ভাবনা \( \frac{4}{9} \) (প্রায় 0.444) যা 0.5 বা তার বেশি নয়। তাই, উক্ত উত্তরে সঠিক নয়।