Another Explanation (5): প্রশ্নে উল্লেখিত পরিস্থিতি অনুযায়ী, আমরা তিনটি উপসংহার (i, ii, iii) বিশ্লেষণ করব এবং দেখব কোনটি সঠিক।
প্রথমে, মূল তথ্যগুলো পুনরায় উল্লেখ করা যাক:
- একটি তারের দৈর্ঘ্য L এবং ব্যাস D।
- তারের এক প্রান্তে দুইভাবে আটকানো।
- তারের নিচের প্রান্তে একটি ভার ঝুলানো হলে, তারের দৈর্ঘ্য x দ্বারা বৃদ্ধি পায়, যেখানে x = L/2।
- একই উপাদানের আরও একটি তার, যার ব্যাস 2D এবং দৈর্ঘ্য 3L, তাতে সমপরিমাণ ভার ঝুলানো হলে, কি পরিবর্তন হবে তা বিবেচনা করতে হবে।
**তারা ও প্রসারণের সম্পর্ক:**
প্রতিটি তারের জন্য প্রসারণের মূল সূত্র:
- প্রসারণ (ΔL) মূলত লোড (W), তারের দৈর্ঘ???য (L), ও টান (T) এর উপর নির্ভর করে।
- টান T এর সাথে প্রসারণের সম্পর্ক সাধারণত:
ΔL = (T * L) / (A * Y)
যেখানে, A = cross-sectional area, Y = Young's modulus।
**অর্থাৎ, টান ও প্রসারণের মধ্যে সম্পর্ক সরলরৈখিক নয়, বরং T বৃদ্ধি হলে ΔL বৃদ্ধি পায়।**
---
### প্রথম, মূল তারে ভার ঝুলানোর ফলে:
- দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি: x = L/2।
এখন, একই উপাদান (একই Young's modulus, একই ব্যাস D) দিয়ে তৈরি অন্য একটি তারের ক্ষেত্রে:
- তারের ব্যাস = 2D → cross-sectional area A = π*(D/2)^2 = π*D^2/4।
- তারের দৈর্ঘ্য = 3L।
এখন, প্রসারণের অনুপাত ও টানের পরিবর্তন বিশ্লেষণ করি:
### 1. পয়সনের অনুপাত (Tension ratio) অপরিবর্তিত থাকবে:
**বিশ্লেষণ:**
- মূল তারে ভার ঝুলানোর ফলে টান T₁ = W।
- নতুন তারে ভার ঝুলানোর ফলেও, যদ?? একই ভার W ঝুলানো হয়, তবে টান T₂ = W।
- তবে, তারের ব্যাস ও দৈর্ঘ্য পরিবর্তনের কারণে টানে পরিবর্তন আসবে।
- মূল তারের টান ও প্রসারণের মধ্যে সম্পর্ক:
ΔL₁ = (T₁ * L) / (A₁ * Y)
যেখানে A₁ = π*D^2/4।
- দ্বিতীয় তারের ক্ষেত্রে:
A₂ = π*(2D)^2/4 = π*4D^2/4 = π*D^2 = 4 * A₁।
দৈর্ঘ্য L₂ = 3L।
- প্রসারণের জন্য:
ΔL₂ = (T₂ * 3L) / (A₂ * Y) = (T₂ * 3L) / (4A₁ * Y)
- যদি ভার W একই থাকে, এবং প্রসারণের পরিমাণ একই হয়, তবে T₂ = T₁ = W।
**অতএব, টান অপরিবর্তিত থাকবে।**
**উপসংহার:**
> **i. পয়সনের অনুপাত-অপরিবর্তিত থাকবে।** সঠিক।
---
### 2. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি হবে 3x/4:
প্রথমে, মূল তারের প্রসারণ:
- ΔL₁ = L/2।
দ্বিতীয় তারের প্রসারণ:
- ΔL₂ = (T * 3L) / (A₂ * Y)।
যেহেতু, একই ভার ঝুলানো হয়, টান T অপরিবর্তিত থাকে, এবং A₂ = 4A₁, তাই:
- ΔL₂ = (T * 3L) / (4A₁ * Y) = 3 * (T * L) / (4A₁ * Y) = 3/4 * (T * L) / (A₁ * Y).
তাই, ΔL₂ = 3/4 * ΔL₁।
এবং, ΔL₁ = L/2, তাহলে:
- ΔL₂ = (3/4) * (L/2) = 3L/8।
তাই, নতুন দৈর্ঘ্য = 3L + ΔL₂ = 3L + 3L/8 = 24L/8 + 3L/8 = 27L/8।
মূল দৈর্ঘ্য = L, বৃদ্ধি = 3L/8, অর্থাৎ, নতুন দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি মূল দৈর্ঘ্যের প্রায় 3/8, যা সমান নয় 3x/4।
এখানে, মূল প্রসারণের তুলনায় দ্বিগুণ বা ত্রিগুণ বৃদ্ধি হয়নি, বরং শারীরিকভাবে এর মান 3L/8, যা মূল দৈর্ঘ্যের প্রায় 0.375 (৩/৮)।
তাই, **দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি 3x/4 হবে না।** সুতরাং, এইটি ভুল।
**উপসংহার:**
> **ii. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি 3x/4 হবে।** ভুল।
---
### 3. পীড়নের পরিবর্তন হবে:
প্রসারণের জন্য টান বা চাপের পরিবর্তন গুরুত্বপূর্ণ।
- মূল তারে, ভার ঝুলানোর ফলে টান এবং প্রসারণ ঘটে।
- দ্বিতীয় তারে একই ভার ঝুলালে, যদি টান অপরিবর্তিত থাকে, তবে প্রসারণও অপরিবর্তিত থাকবে।
- তবে, তারের ব্যাস ও দৈর্ঘ্য পরিবর্তনের কারণে টান ও প্রসারণের সম্পর্ক পরিবর্তিত হয়।
অর্থাৎ, **দ্বিতীয় তারের ক্ষেত্রে টান ও প্রসারণের সম্পর্ক আলাদা হবে**, ফলে পীড়নে পরিবর্তন আসবে।
**উপসংহার:**
> **iii. পীড়নের পরিবর্তন হবে।** সত্য।
---
### উপসংহার:
উপরে বিশ্লেষণে দেখা যায়:
- পয়সনের অনুপাত অপরিবর্তিত থাকবে। (সঠিক)
- দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি 3x/4 হবে না। (ভুল)
- পীড়নের পরিবর্তন হবে। (সঠিক)
সুতরাং, **"i, ii ও iii"** এই উত্তর ভুল, কারণ ii ভুল।
সঠিক উত্তর হবে: **"i ও iii"**। তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ রয়েছে "i, ii ও iii"।
এটি সম্ভবত ভুল বা অস্পষ্ট, তবে, বিশ্লেষণ অনুযায়ী, শুধুমাত্র **i ও iii** সঠিক।
---
### **সারসংক্ষেপ:**
- i. পয়সনের অনুপাত অপরিবর্তিত থাকবে। — কারণ, ভার ঝুলানোর টান একই থাকলে, ব্যাস ও দৈর্ঘ্য অনুযায়ী টান ও প্রসারণের সম্পর্ক বজায় থাকে।
- ii. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি 3x/4 হবে। — এই বিবৃতি ভুল, কারণ প্রসারণের হিসাব অনুযায়ী, বৃদ্ধি 3L/8 বা প্রায় 0.375 গুণ হয়, 3x/4 নয়।
- iii. পীড়নের পরিবর্তন হবে। — কারণ, ব্যাস ও দৈর্ঘ্য পরিবর্তনের ফলে, টান ও প্রসারণের সম্পর্ক পরিবর্তিত হয়।
অতএব, **উত্তর: "i ও iii"**।
