Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = \ln 5x \), যেখানে \( x > 0 \)। নিচের বিবৃতি গুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
(i) \( x = \frac{1}{5e^y} \)
(ii) \( y_1 = \frac{1}{5^x} \)
(iii) \( \lim_{x \to \frac{1}{5} y} = 0 \)
উত্তর: "i ও iii"
---
**সমাধান:**
প্রথমে মূল সমীকরণ থেকে \( y = \ln 5x \)।
**(i)**
\( y = \ln 5x \)
=> \( e^y = 5x \)
=> \( x = \frac{e^y}{5} \)
দেখা যাচ্ছে, বিকল্প (i) তে লেখা হয়েছে:
\( x = \frac{1}{5e^y} \)
এটি সঠিক নয়, কারণ আমাদের সমাধান বলছে:
\( x = \frac{e^y}{5} \)
অর্থাৎ, (i) ভুল।
---
**(ii)**
\( y_1 = \frac{1}{5^x} \)
আমরা জানি:
\( y = \ln 5x \)
এবং \( 5^x = e^{x \ln 5} \)
তাহলে,
\( y = \ln 5x \neq \frac{1}{5^x} \)
অর্থাৎ, (ii) ভুল।
---
**(iii)**
প্রতীক \( \lim_{x \to \frac{1}{5} y} \)
এখানে \( y = \ln 5x \), তাই,
\( y \) এর মানের উপর নির্ভর করে \( x \) সেট করতে হবে।
আমরা চাই:
\( \lim_{x \to \frac{1}{5} y} \)
প্রথমত, \( y = \ln 5x \)
অর্থাৎ,
\( e^y = 5x \)
=> \( x = \frac{e^y}{5} \)
যেহেতু, \( x \to \frac{1}{5} y \), তাহলে \( x \to \frac{1}{5} y \).
একই সময়ে,
\( y = \ln 5x \)
অর্থাৎ,
\( y = \ln 5 \times x \)
যখন \( x \to \frac{1}{5} y \),
\( y \to \ln 5 \times \frac{1}{5} y \)
=> \( y \to \frac{\ln 5}{5} y \)
এটি সমাধান করলে,
\( y (1 - \frac{\ln 5}{5}) \to 0 \)
অর্থাৎ, \( y \to 0 \)
তাহলে,
\( \lim_{x \to \frac{1}{5} y} \) এর মান কি?
যেহেতু \( y \to 0 \),
\( y \to 0 \)
এবং,
\( \lim_{x \to \frac{1}{5} y} \) এর মান হবে,
\( \lim_{x \to \frac{1}{5} y} y = 0 \)
অর্থাৎ,
(iii) সত্য।
---
**সারাংশ:**
- (i) ভুল
- (ii) ভুল
- (iii) সঠিক
অতএব, সঠিক উত্তর: **"i ও iii"**।
---
**HTML ফরম্যাটে সমাধান:**
```html
প্রশ্ন: y = ln 5x, যেখানে x > 0. নিচের বিবৃতি গুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
- x = \frac{1}{5e^y}
- y_1 = \frac{1}{5^x}
- underset(xto1/5y)lim=0
উত্তর: "i ও iii"
সমাধান:
প্রথমে মূল সমীকরণ থেকে,
\( y = \ln 5x \)
এবং,
\( e^y = 5x \)
অতএব,
\( x = \frac{e^y}{5} \)
তাই, বিকল্প (i) তে লেখা হয়েছে: \( x = \frac{1}{5e^y} \), যা সঠিক নয়। কারণ আমাদের পেয়েছি: \( x = \frac{e^y}{5} \).
অর্থাৎ, (i) ভুল।
দ্বিতীয়ত, বিকল্প (ii): \( y_1 = \frac{1}{5^x} \)।
আমরা জানি,
\( y = \ln 5x \)
এবং,
\( 5^x = e^{x \ln 5} \)
তাহলে,
\( y \neq \frac{1}{5^x} \)
অর্থাৎ, (ii) ভুল।
তৃতীয়ত,
প্রতীক \( \lim_{x \to \frac{1}{5} y} \)
আমরা জানি,
\( y = \ln 5x \)
অর্থাৎ,
\( e^y = 5x \)
যখন,
\( x \to \frac{1}{5} y \)
তাহলে,
\( y \to \ln 5 \times \frac{1}{5} y = \frac{\ln 5}{5} y \)
এবং,
যখন \( y \to 0 \), তখন,
\( \lim_{x \to \frac{1}{5} y} y = 0 \)
অর্থাৎ, (iii) সত্য।
সারাংশ:
- (i) ভুল
- (ii) ভুল
- (iii) সঠিক
অতএব, সঠিক উত্তর: "i ও iii"
```
