2(x+1/x)^16  রাশিটির মধ্যপদটি কততম?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে হলো: রাশিটির মধ্যপদটি কততম, যেখানে রাশিটির পদ হলো \(2\left(x + \frac{1}{x}\right)^{16}\)। আমরা জানি, যদি একটি সমাকলন (binomial) এক্সপ্রেশন হয় \( (a + b)^n \), তবে এর সাধারণ পদ হলো: \[ \text{পদ} \, (k+1) = \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} \] এখানে, \(a = x\) ও \(b = \frac{1}{x}\)। প্রথমত, রাশিটির মূল সমানুপাত হলো: \[ R = 2 \left( x + \frac{1}{x} \right)^{16} \] এখানে, রাশিটির পদসমূহের জন্য আমরা দেখব: \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} x^{16 - k} \left(\frac{1}{x}\right)^k \] এখানে, \[ x^{16 - k} \times x^{-k} = x^{16 - 2k} \] অর্থাৎ, \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} x^{16 - 2k} \] তাহলে, রাশিটির পদ হলো: \[ \text{পদ}_k = 2 \times \binom{16}{k} x^{16 - 2k} \] আমাদের লক্ষ্য হলো সেই পদটি যেখানে \(x\) এর অভিব্যক্তি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হয়, অর্থাৎ, যেখানে \(x^{16 - 2k}\) এর শক্তি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন। --- **অবস্থা:** - যখন \(16 - 2k = 0\), অর্থাৎ, \(x^0 = 1\), তখন পদটি \(x\) থেকে মুক্ত। - সমাধান করি: \[ 16 - 2k = 0 \Rightarrow 2k = 16 \Rightarrow k = 8 \] অর্থাৎ, এই পদটি হলো: \[ \text{পদ}_8 = 2 \times \binom{16}{8} \times x^{0} = 2 \times \binom{16}{8} \] এটি রাশিটির মধ্যপদ বা মধ্যের পদ, কারণ এটি সমান বা প্রায় সমান হয় এর আগে ও পরে পদগুলোর তুলনায়। --- **উপসংহার:** - পদনং \(k = 8\)। - তবে, পদ সংখ্যা গণনা \(k\) থেকে শুরু হয় শূন্য থেকে। - তাই, এই পদটি **নম্বর 9** তম পদ হিসেবে গণ্য হয় (কারণ প্রথম পদ \(k=0\) থেকে, তাই পদ সংখ্যা হলো \(k+1\)। **অতএব, রাশিটির মধ্যপদটি হলো ৯তম পদ।** ---

উত্তর:

"9"