n ε N হলে, (1+2x+x²)ⁿ এর বিস্তৃতির মধ্যপদটি নির্ণয় কর ?

প্রশ্ন:

প্রদত্ত: যদি \( n \in \mathbb{N} \), তাহলে \( (1 + 2x + x^2)^n \) এর বিস্তৃতির মধ্যপদটি নির্ণয় করো।

উত্তর:

প্রথমে, মূল বহুপদীটি লিখি:

\[ (1 + 2x + x^2)^n \]

এটি একটি দ্বৈতস্বরূপ (quadratic) সমন্বিত বহুপদী। তবে, আমরা এর বিস্তৃতি সহজে নির্ণয় করতে পারি যদি আমর?? সেটি সমন্বিতভাবে লিখি।

ধাপ ১: সমন্বিত রূপে লেখা

আমরা লক্ষ্য করি, \( 1 + 2x + x^2 \) এর সাথে পরিচিত, এটি হলো: \[ (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \] তাই, \[ (1 + 2x + x^2)^n = \left( (1 + x)^2 \right)^n = (1 + x)^{2n} \]

ধাপ ২: বিস্তৃতি নির্ণয়

এখন, আমাদের মূল সূত্র হয়ে যায়: \[ (1 + x)^{2n} \] এটির বিস্তৃতি সাধারণ বিনোমিয়াল সূত্র দ্বারা লিখি: \[ (1 + x)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} x^k \]

ধাপ ৩: মধ্যপদ নির্ণয়

বিস্তারিতে মধ্যপদটি হলো \( \left\lfloor \frac{\text{অংকের সর্বোচ্চ শক্তি}}{2} \right\rfloor \)-এর কাছাকাছি। কারণ, এটি একটি পূর্ণসংখ্যা বিনোমিয়াল বিস্তার, যেখানে সর্বোচ্চ শক্তি হলো \( 2n \)।

অর্থাৎ, মধ্যপদটি হবে:

উপসংহার:

অতএব, \( (1 + 2x + x^2)^n \) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ হলো:

\[
\boxed{\binom{2n}{n} x^{n}}
\]