n ε N হলে, (1+2x+x2)n এর বিস্তৃতির মধ্যপদটি নির্ণয় কর ?
প্রশ্ন:
প্রদত্ত: যদি \( n \in \mathbb{N} \), তাহলে \( (1 + 2x + x^2)^n \) এর বিস্তৃতির মধ্যপদটি নির্ণয় করো।
উত্তর:
প্রথমে, মূল বহুপদীটি লিখি:
\[ (1 + 2x + x^2)^n \]
এটি একটি দ্বৈতস্বরূপ (quadratic) সমন্বিত বহুপদী। তবে, আমরা এর বিস্তৃতি সহজে নির্ণয় করতে পারি যদি আমর?? সেটি সমন্বিতভাবে লিখি।
ধাপ ১: সমন্বিত রূপে লেখা
আমরা লক্ষ্য করি, \( 1 + 2x + x^2 \) এর সাথে পরিচিত, এটি হলো: \[ (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \] তাই, \[ (1 + 2x + x^2)^n = \left( (1 + x)^2 \right)^n = (1 + x)^{2n} \]
ধাপ ২: বিস্তৃতি নির্ণয়
এখন, আমাদের মূল সূত্র হয়ে যায়: \[ (1 + x)^{2n} \] এটির বিস্তৃতি সাধারণ বিনোমিয়াল সূত্র দ্বারা লিখি: \[ (1 + x)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} x^k \]
ধাপ ৩: মধ্যপদ নির্ণয়
বিস্তারিতে মধ্যপদটি হলো \( \left\lfloor \frac{\text{অংকের সর্বোচ্চ শক্তি}}{2} \right\rfloor \)-এর কাছাকাছি। কারণ, এটি একটি পূর্ণসংখ্যা বিনোমিয়াল বিস্তার, যেখানে সর্বোচ্চ শক্তি হলো \( 2n \)।
অর্থাৎ, মধ্যপদটি হবে:
\[ \text{k} = n \] এবং এর জন্য, টার্ম হলো: \[ \binom{2n}{n} x^{n} \]উপসংহার:
অতএব, \( (1 + 2x + x^2)^n \) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ হলো:
\[
\boxed{\binom{2n}{n} x^{n}}
\]
- (2x+1/(2x))^10 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি হবে ?
- (x/y+y/x)^(10) এর বিস্তৃটিতে মধ্যপদটি কত?
- f(x)=(2-3/x)^15 f(x) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ দুইটির পার্থক্য নির্ণয় কর যখন x = 1. x2 +y2 =1
- (x+1/x)^33 এর বিস্তৃতিতে কোন পদটি মধ্যপদ?
- (1 + 2y)^mএকটি বীজগানিতিক রাশিm = 20 হলে উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদের সহগের অনুপাত 11:20 হয়। পদ দুইটি নির্ণয় কর। x2 +y2 =1
- (a/x+x/a)^9 এর বিস্তৃতে মধ্যম পদদ্বয় কত?
- ( 1/x^2 +x2-2)7 এর বিস্তৃতির মধ্য পদ কততম?
- (a/x+x/a)^10 এর বিস্তৃতিতে মধ্য পদ কোনটি?
- \((ax+b)^{n}\) এর মধ্যপদ কততম পদ? (n জোড় সংখ্যা)
- (x-1/x)^16 এর বিস্তৃতিতে মধ্য পদটির মান কত?
- (x-1/x)^16 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটির মান কত?
- (x-1/x)^16 এর বিস্তৃতিতে মধ্য পদের মান কত?
- (a/x-bx)^12 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান-
- (x-1/(3x^2))^6 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ-
- (a+x)20 এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ মধ্যপদ
- (2x2-5/7x)15 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ-
- (x-1/x)^8 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান কত?
- (x - 1/x)16 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি কত?
- ( x-1/x )8 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটির মান কত?
- (1+x)24 এর বিস্তৃতিতে-পদের সংখ্যা 25 মধ্যপদ 13 11 তম পদ 24C10x10নিচের কোনটি সঠিক?
- (2+x)17 এর বিস্তৃতিতে মধ্য পদ দুটি হল-
- (1 + 2y)^m একটি বীজগাণিতিক রাশি।m = 2n, (n ∈ Ù) হলে দেখাও যে উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান (1.3.5..... (2n-1))/(n!). 2^(2n).y^n x2 +y2 =1
- (x+1/x)^6 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কোনটি ?
- n একটি যোগবোধক জোড়সংখ্যা হলে (a+x)n এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কোনটি?
- (1-2x)11 একটি রাশি।উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতির মধ্য পদ কোনটি?
- f(x)=a+bxa = 1, b= -2 হলে {f(x)}^(2m) এর মধ্যপদ নির্ণয় কর যেখানে m ∈ N. x2 +y2 =1
- (a/x+x/a)^10 এর বিস্তৃতির মধ্যপদ কত?
- (a+b)22 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ-
- \( (m^2+2)^8 \) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি 1120 হলে, m এর বাস্তব মান কত?
- দৃশ্যকল্প-১: A=(2/x+x/2)^n দৃশ্যকল্প-২: B = (1 - 9x + 20x2)-1n এর জন্য কোন শর্ত আরোপ করলে দৃশ্যকল্প A এর একটি মধ্যপদ থাকবে? n=21 হলে মধ্যপদ বা (পদসমূহের) মান নির্ণয় কর।
- (x+2/x)^8
- 2x-1x8 - এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি হলো
- (x+2/x)^8 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান কত?
- x3 - px2 + qx + r = 0 সমীকরণের একটি মূলβ । কোন শর্তে সমীকরণের মূলত্রয় একটি গুণোত্তর ধারা গঠন করবে যাতে β মধ্যপদ হয়?
- 2(x+1/x)^16 রাশিটির মধ্যপদটি কততম?
- (x-1/x)^16 এর বিস্তৃতিতে মধ্যম পদটি হবে-
- (x - 1/x)^16 এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান কোনটি?
- (2x^2-3/x) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর। x2 +y2 =1
- (x/y+y/x)^10 এর বিস্ত্রিতিতে মধ্যপদ কোনটি?
