Another Explanation (5):
প্রশ্ন: (x - \frac{1}{x})^{16} এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান কোনটি?
সমাধান:
প্রথমে, হরমোনিয়ান বিস্তৃতি ব্যবহার করে, সাধারণত:
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]
এখানে, \(a = x\) এবং \(b = -\frac{1}{x}\)। ফলে,
\[
(x - \frac{1}{x})^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} x^{16 - k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k
\]
বিন্যাস করলে,
\[
= \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} x^{16 - k} \cdot (-1)^k \cdot x^{-k}
\]
\[
= \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} (-1)^k x^{16 - 2k}
\]
এখানে, প্রতিটি টার্মের শক্তি \(x^{16 - 2k}\)। মধ্যপদ মান নির্ণয় করতে, আমাদের দেখতে হবে যে কোন টার্মের শক্তি \(x\) এর মূলের মাঝামাঝি হয়। যেহেতু \(k\) চলবে 0 থেকে 16 পর্যন্ত, এবং শক্তি \(16 - 2k\), মধ্যপদে শক্তি হবে যেখানে \(k\) এমন একটি মান যেখানে শক্তি সবচেয়ে কাছাকাছি 0 এর।
\[
16 - 2k = 0 \Rightarrow 2k = 16 \Rightarrow k = 8
\]
অর্থাৎ, \(k=8\) এ টার্মটি মধ্যপদে থাকবে। এখন, এই টার্মের মান নির্ণয় করি:
\[
T_{k=8} = \binom{16}{8} (-1)^8 x^{0}
\]
কারণ, \(x^0 = 1\), এবং \((-1)^8 = 1\), সুতরাং,
\[
T_{8} = \binom{16}{8}
\]
এখন, \(\binom{16}{8}\) এর মান হিসাব করি:
\[
\binom{16}{8} = \frac{16!}{8! \times 8!}
\]
মূল্য নির্ণয়:
\[
16! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!
\]
অতএব,
\[
\binom{16}{8} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
\]
অথবা, সাধারণত মানটি টেবিল বা গণনাযন্ত্রে পাওয়া যায়:
\[
\binom{16}{8} = 12870
\]
সুতরাং, মধ্যপদের মান হলো:
উত্তর: 12870
