\( (m^2+2)^8 \) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি 1120 হলে, m এর বাস্তব মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( (m^2+2)^8 \) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি 1120 হলে, \( m \) এর বাস্তব মান কত? সমাধান: ধরা যাক, \[ f(m) = (m^2 + 2)^8 \] এর বিস্তৃতি অনুযায়ী, সাধারণত এর টার্মগুলো হলো: \[ \binom{8}{k} (m^2)^{k} \cdot 2^{8-k} \] অর্থাৎ, \(k\) এর জন্য টার্ম: \[ T_{k+1} = \binom{8}{k} (m^2)^k \cdot 2^{8 - k} \] এবং এই বিস্তৃতির মধ্যপদ হলো \(k=4\) (কারণ, 8 টির মধ্যে 4 তম টার্ম মাঝপদ হিসেবে বিবেচিত হয়, যেখানে \(k=4\))। অতএব, মধ্যপদ: \[ T_{5} = \binom{8}{4} (m^2)^4 \cdot 2^{8 - 4} \] গণনা করি: \[ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70 \] এবং, \[ T_{5} = 70 \cdot (m^2)^4 \cdot 2^{4} = 70 \cdot m^{8} \cdot 16 \] অর্থাৎ, \[ T_{5} = 70 \times 16 \times m^8 = 1120 \times m^8 \] প্রদত্ত অনুযায়ী, এই মধ্যপদটি 1120: \[ 1120 \times m^8 = 1120 \] দুটি পক্ষ ভাগ করলে: \[ m^8 = 1 \] অতএব, \[ m = \pm 1 \] তবে, এই সমাধান অনুযায়ী, \(m\) এর বাস্তব মান হলো: \[ \boxed{\pm 1} \] উত্তর: **"±1"** (প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর "±2" হয়তো ভুল অথবা অন্য সংজ্ঞায় বিভ্রান্তি হতে পারে। সুতরাং সঠিক সমাধানটি হলো "±1")