sin^-1(3/5)+cos^-1(4/5) এর মান কত?
উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রবিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোনমিতিক সমীকরনবিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের সূত্রাবলী (Topic Practice)
সঠিক উত্তরঃ
E.
Blank
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) এর মান কত?
উত্তর: "nan"
সমাধান:
প্রথমে, আমরা জানি যে:
\[
\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}
\]
যদিও এটি সাধারণত সত্য, তবে এটি কেবল তখনই সত্য যখন \(x\) এর মান \([-1, 1]\) এর মধ্যে হয় এবং উভয় আনুমানিক মানের জন্য যথার্থ হয়।
এখন, আমাদের দেওয়া:
\[
\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right), \quad \text{এবং} \quad \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)
\]
তবে, লক্ষ্য করব যে:
\[
\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \theta_1
\]
\[
\text{অর্থাৎ,} \quad \sin \theta_1 = \frac{3}{5}
\]
এবং,
\[
\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \theta_2
\]
\[
\text{অর্থাৎ,} \quad \cos \theta_2 = \frac{4}{5}
\]
অতএব,
\[
\sin \theta_1 = \frac{3}{5}
\]
\[
\Rightarrow \cos \theta_1 = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
\]
এবং,
\[
\cos \theta_2 = \frac{4}{5}
\]
\[
\Rightarrow \sin \theta_2 = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}
\]
উল্লেখ্য, \(\sin \theta_1 = \frac{3}{5}\) এর জন্য \(\theta_1\) সাধারণত প্রথম চৌৰাসে হয়, যেখানে \(\theta_1 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\), তাই \(\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \theta_1\).
অন্যদিকে, \(\cos \theta_2 = \frac{4}{5}\) এর জন্য, \(\theta_2\) সাধারণত প্রথম চৌৰাসে হয়, যেখানে \(\theta_2 \in [0, \pi]\).
এখন, এই দুটি কোণ সম্পর্কে সম্পর্ক:
\[
\theta_2 = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)
\]
তাহলে, \(\theta_2\) এর মান:
\[
\theta_2 = \arccos \left(\frac{4}{5}\right)
\]
আমরা জানি যে:
\[
\sin \theta_1 = \frac{3}{5}
\]
এবং,
\[
\cos \theta_2 = \frac{4}{5}
\]
তাহলে, \(\theta_1 + \theta_2\) এর মান কি?
আমরা জানি যে:
\[
\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x
\]
অর্থাৎ,
\[
\theta_1 = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)
\]
\[
\Rightarrow \theta_1 = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right)
\]
এবং,
\[
\theta_2 = \arccos \left(\frac{4}{5}\right)
\]
অতএব,
\[
\theta_1 + \theta_2 = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right) + \arccos \left(\frac{4}{5}\right)
\]
তবে, আমরা জানি যে:
\[
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}
\]
এখানে, যদি আমরা \(x = \frac{3}{5}\), তবে,
\[
\arcsin \left(\frac{3}{5}\right) + \arccos \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{\pi}{2}
\]
কিন্তু আমাদের কাছে \(\arccos \left(\frac{4}{5}\right)\) আছে, যেখানে \(\frac{4}{5} \neq \frac{3}{5}\), তাই এই সম্পর্ক সরাসরি প্রযোজ্য নয়।
তবে, লক্ষ্য করি যে:
\[
\sin \theta_1 = \frac{3}{5}
\]
এবং,
\[
\cos \theta_2 = \frac{4}{5}
\]
তাই, \(\theta_2 = \arccos \left(\frac{4}{5}\right)\).
অতএব, \(\sin \theta_2\) এর মান:
\[
\sin \theta_2 = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}
\]
এবং, \(\theta_2\) এর মান:
\[
\theta_2 = \arccos \left(\frac{4}{5}\right)
\]
অর্থাৎ, \(\sin \theta_2 = \frac{3}{5}\).
তাহলে, \(\theta_2 = \arccos \left(\frac{4}{5}\right)\) এর জন্য, \(\sin \theta_2 = \frac{3}{5}\), তাই:
\[
\theta_2 = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right)
\]
এবং,
\[
\theta_1 = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right)
\]
সুতরাং,
\[
\theta_1 + \theta_2 = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right) + \arcsin \left(\frac{3}{5}\right) = 2 \arcsin \left(\frac{3}{5}\right)
\]
তবে, আমাদের মূল প্রশ্ন হল:
\[
\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)
\]
যদিও এখানে \(\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right)\) এবং \(\cos^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)\) একই মানের কোণের জন্য, কারণ:
\[
\sin \theta = \frac{3}{5} \Rightarrow \theta = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right)
\]
এবং,
\[
\cos \phi = \frac{4}{5} \Rightarrow \phi = \arccos \left(\frac{4}{5}\right)
\]
এখানে, \(\sin \theta = \frac{3}{5}\), \(\cos \phi = \frac{4}{5}\), এবং উভয় কোণ প্রথম চৌৰাসে রয়েছে, তাই:
\[
\theta = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right), \quad \phi = \arccos \left(\frac{4}{5}\right)
\]
তাই, \(\theta + \phi = \frac{\pi}{2}\), কারণ:
\[
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}
\]
অতএব,
\[
\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{\pi}{2}
\]
কিন্তু, প্রশ্নের উত্তরে "nan" দেওয়া হয়েছে, সম্ভবত কারণ কিছু অপ্রত্যাশিত মান বা ভুলের জন্য। তবে, গণিতের দৃষ্টিতে, এই মানটি \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\)।
উপসংহার:
\[
\boxed{
\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{\pi}{2}
}
\]
তাই, আসল মান হলো \(\frac{\pi}{2}\)।