\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) সমীকরণটির মূলদ্বয় 2 ও 3 হলে \( \frac{1}{2} \) ও \( \frac{1}{3} \) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:

প্রথমে দেওয়া সমীকরণটি হলো:

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

এই সমীকরণের মূল হলো 2 এবং 3।

অর্থাৎ, মূলদ্বয় হলো:

\( \alpha = 2 \), \( \beta = 3 \)

অর্থাৎ, মূলের যোগফল:

\( \alpha + \beta = 2 + 3 = 5 \)

এবং মূলের গুণফল:

\( \alpha \beta = 2 \times 3 = 6 \)

এখন, মূলবিশিষ্ট সমীকরণটির মূলবিশিষ্ট সূত্র অনুযায়ী:

\( x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta = 0 \)

অর্থাৎ, মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে:

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

যদিও এটি মূল সমীকরণ, তবে প্রশ্নে উল্লেখ আছে যে মূলদ্বয় 2 ও 3 হলে, মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি কোনটি হতে পারে যেখানে মূলবিশিষ্ট শর্তে \( \frac{1}{2} \) ও \( \frac{1}{3} \) হলো মূল।

অর্থাৎ, মূলদ্বয় হলো:

\( \alpha' = \frac{1}{2} \), \( \beta' = \frac{1}{3} \)

এবং মূলের যোগফল:

\( \alpha' + \beta' = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)

মূলের গুণফল:

\( \alpha' \beta' = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)

অতএব, মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে:

\( x^2 - (\alpha' + \beta') x + \alpha' \beta' = 0 \)

অর্থাৎ,

\( x^2 - \frac{5}{6} x + \frac{1}{6} = 0 \)

এখন, এই সমীকরণের সমাধান করতে, প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি:

\( 6x^2 - 5x + 1 = 0 \)

এটাই মূল সমীকরণ যেখানে মূলবিশিষ্ট শর্ত পূরণ হয়।

উত্তর:

6x² - 5x + 1 = 0