11 - 60i এর বর্গমূল কত ?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( 11 - 60i \) এর বর্গমূল কত?

উত্তর: \( \pm (6 - 5i) \)

সমাধান:

আমরা ধরি, যেখানে \( z = a + bi \), সেখানে:

\( z^2 = (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi \)

আমাদের দেয়া: \( z^2 = 11 - 60i \)

অর্থাৎ:

\[ a^2 - b^2 = 11 \quad \text{(1)} \] \[ 2ab = -60 \quad \Rightarrow \quad ab = -30 \quad \text{(2)} \]

এখন, (2) থেকে:

\[ b = -\frac{30}{a} \]

এটি (1) এ বসিয়ে দেয়া যাক:

\[ a^2 - \left(-\frac{30}{a}\right)^2 = 11 \] \[ a^2 - \frac{900}{a^2} = 11 \]

উভয় طرفে গুণ করা হয় \( a^2 \):

\[ a^4 - 900 = 11a^2 \]

এটি একটি গুণিতক সমীকরণ:

\[ a^4 - 11a^2 - 900 = 0 \]

অর্থাৎ, যদি \( x = a^2 \), তবে:

\[ x^2 - 11x - 900 = 0 \]

সমাধান:

\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{(11)^2 - 4 \times 1 \times (-900)}}{2} \] \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 3600}}{2} \] \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{3721}}{2} \] \[ \sqrt{3721} = 61 \] অতএব: \[ x = \frac{11 \pm 61}{2} \] দুটি মান হবে: \[ x_1 = \frac{11 + 61}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] \[ x_2 = \frac{11 - 61}{2} = \frac{-50}{2} = -25 \] অবশ্যই, \( a^2 \) ধনাত্মক হওয়া উচিত, তাই: \[ a^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 6 \] এখন, \( b \) এর মান: \[ ab = -30 \] \[ b = -\frac{30}{a} \] যদি \( a = 6 \): \[ b = -\frac{30}{6} = -5 \] যদি \( a = -6 \): \[ b = -\frac{30}{-6} = 5 \] অতএব, দুটি সমাধান হলো: \[ z = 6 - 5i \quad \text{অথবা} \quad z = -6 + 5i \] সুতরাং, \( 11 - 60i \) এর স্কয়ার রুট হলো: \[ \boxed{\pm (6 - 5i)} \]