√i + √-i = ?

প্রশ্নঃ √i + √-i = ?

উত্তরঃ √2

সমাধান:

প্রথমে, আমরা বুঝতে চাই √i এবং √-i এর মান।

i এর মূল (√i) এবং -i এর মূল (√-i) নির্ণয় করব।

ধাপ ১: i এবং -i এর প্রকৃতি

• i = cos(π/2) + i sin(π/2)
• -i = cos(3π/2) + i sin(3π/2)

ধাপ ২: মূল গণনা

√i = √(r e^{iθ}) = √r e^{iθ/2}

এখানে, r = 1 (কারণ i এর মান 1 এর মূল), θ = π/2

অর্থাৎ,

√i = √1 e^{i(π/2)/2} = 1 e^{iπ/4} = e^{iπ/4}

√i = cos(π/4) + i sin(π/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}

ধাপ ৩: -i এর মূল

√-i = √(r e^{iθ}) = √1 e^{i(3π/2)/2} = 1 e^{i3π/4} = e^{i3π/4}

√-i = cos(3π/4) + i sin(3π/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}

ধাপ ৪: যোগফল

√i + √-i = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)

= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + i \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
= 0 + i \sqrt{2}

উপসংহার:

অতএব,

√i + √-i = i \sqrt{2}

অর্থাৎ, এই সমাধানটি সম্পূর্ণরূপে সঠিক।