এককের কাল্পনিক মূল ω হলে (1-ω+ω²)² + (1+ω-ω²)² = ?

ধরি, এককের কাল্পনিক মূল ω।

প্রশ্নে দেওয়া:

\( (1 - \omega + \omega^2)^2 + (1 + \omega - \omega^2)^2 \)

আমরা প্রথমে এককের মূলের বৈশিষ্ট্য জানি:

• \( \omega^3 = 1 \)
• \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \)

এখন, প্রথমে \( \omega^2 \) এর মানে দেখি:

\( \omega^2 = -1 - \omega \)

অথবা, \( \omega^2 = -1 - \omega \)

প্রথম অংশ:

\( A = 1 - \omega + \omega^2 \)

এখন, \( A \) এর মান নির্ণয় করি:

\( A = 1 - \omega + (-1 - \omega) \)

\( A = 1 - \omega - 1 - \omega = -2\omega \)

দ্বিতীয় অংশ:

\( B = 1 + \omega - \omega^2 \)

এখানে, \( \omega^2 = -1 - \omega \), তাই:

\( B = 1 + \omega - (-1 - \omega) \)

\( B = 1 + \omega + 1 + \omega = 2 + 2\omega \)

অতএব, মূল সমাধান হলো:

\( A^2 + B^2 = (-2\omega)^2 + (2 + 2\omega)^2 \)

\( = 4 \omega^2 + 4 (1 + \omega)^2 \)

এখন, \( \omega^2 = -1 - \omega \), তাই:

\( 4 \omega^2 = 4(-1 - \omega) = -4 - 4\omega \)

আর, \( (1 + \omega)^2 = 1 + 2\omega + \omega^2 \)

এখানে, আবার \( \omega^2 = -1 - \omega \), তাই:

\( (1 + \omega)^2 = 1 + 2\omega - 1 - \omega = \omega \)

অতএব, মূল সমাধান:

\( 4 \omega^2 + 4 (1 + \omega)^2 = (-4 - 4\omega) + 4 \omega = -4 - 4\omega + 4 \omega = -4 \)

অতএব, উত্তর হলো: -4