\( \vec{A} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} \) এবং \( \vec{B} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} \) হলে \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের মান নির্ণয় কর।

📐দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের জন্য আমরা ডট গুণনের সূত্র ব্যবহার করতে পারি।

ধরি, \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \)।

আমরা জানি, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta} \)

সুতরাং, \( \cos{\theta} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \)

প্রথমে, \( \vec{A} \cdot \vec{B} \) নির্ণয় করি:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \)

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (3 \times 2) + (3 \times 1) + (-1 \times 3) \)

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = 6 + 3 - 3 = 6 \)

এখন, \( |\vec{A}| \) এবং \( |\vec{B}| \) এর মান বের করি:

\( |\vec{A}| = \sqrt{(3)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \)

\( |\vec{B}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \)

তাহলে, \( \cos{\theta} = \frac{6}{\sqrt{19} \sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{266}} \)

\( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{6}{\sqrt{266}}\right) \)

ক্যালকুলেটরের সাহায্যে, \( \theta \approx \cos^{-1}(0.3675) \approx 68.45^{\circ} \) 😃

অতএব, \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের মান প্রায় \( 68.45^{\circ} \)।