3P এবং 2P বলদ্বয়ের লব্ধি R। প্রথম বল দ্বিগুণ করলে লব্ধির পরিমাণও দ্বিগুণ হয়।বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ হবে-

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

3P এবং 2P বলদ্বয়ের লব্ধি \( R \)। প্রথম বল দ্বিগুণ করলে লব্ধির পরিমাণও দ্বিগুণ হয়। বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ হবে-

উত্তরঃ 120°

সমাধান:

ধরা যাক, বলদ্বয়ের দুটি বাহু \( AB \) এবং \( AC \), যেখানে \( AB = 3P \), \( AC = 2P \) এবং কোণ \( \angle BAC = \theta \)।

বলদ্বয়ের লব্ধি \( R \) এর জন্য সূত্র হলো:

\[ R = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \theta \]

অর্থাৎ:

\[ R = \frac{1}{2} \times 3P \times 2P \times \sin \theta \] \[ R = \frac{1}{2} \times 6P^2 \times \sin \theta \] \[ R = 3P^2 \times \sin \theta \]

এখন, প্রথম বল \( AB = 3P \) দ্বিগুণ করলে, নতুন বল হবে \( 2 \times 3P = 6P \)। এ সময় লব্ধি কত হবে?

নতুন বলদ্বয় হল: \( AB' = 6P \), \( AC \) অপরিবর্তিত থাকলে, নতুন লব্ধি হবে:

\[ R' = \frac{1}{2} \times 6P \times 2P \times \sin \theta' \] \[ R' = \frac{1}{2} \times 12P^2 \times \sin \theta' \] \[ R' = 6P^2 \times \sin \theta' \]

প্রশ্ন অনুযায়ী, প্রথম বল দ্বিগুণ করলে লব্ধির পরিমাণও দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ:

\[ R' = 2 R \] অর্থাৎ, \[ 6P^2 \times \sin \theta' = 2 \times 3P^2 \times \sin \theta \] \[ 6P^2 \times \sin \theta' = 6P^2 \times \sin \theta \] \[ \sin \theta' = \sin \theta \] এখানে, \(\sin \theta' = \sin \theta\) এর মানে হলো \(\theta'\) ও \(\theta\) এর মানের ক্ষেত্রে কিছু নির্দিষ্ট সমাধান আসবে। তবে, নতুন বলের জন্য, বলদ্বয়ের কোণ পরিবর্তিত না হলে, এই সমীকরণ একসাথে সমাধান করা প্রয়োজন। কিন্তু এখানে, মূল বিষয় হলো যে, বলদ্বয়ের কোণে পরিবর্তন না আসার জন্য, \(\sin \theta\) এর মান অপরিবর্তিত থাকবে। অর্থাৎ: \[ \sin \theta' = \sin \theta \] তবে, বলদ্বয়ের কোণের পরিবর্তন না থাকলে, কোণ \(\theta\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে, বলদ্বয়ের লব্ধি সূত্রে, বলদ্বয়ের কোণ \(\theta\) এর জন্য: \[ R = 3P^2 \times \sin \theta \] এবং, বল দ্বিগুণ হলে: \[ R' = 6P^2 \times \sin \theta' \] প্রশ্নে বলা হয়েছে, প্রথম বল দ্বিগুণ করলে লব্ধির পরিমাণও দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ, \(\sin \theta' = \sin \theta\)। তবে, কোণ পরিবর্তিত না হলে, এই সমাধান থেকে বোঝা যায় যে বলের মান পরিবর্তিত হলে, কোণের মান নির্ণয় করতে হবে। সুতরাং, বলদ্বয় \( AB \) ও \( AC \) এর জন্য, বলদ্বয়ের লব্ধি: \[ R = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \theta \] প্রথম বল \( AB = 3P \), দ্বিতীয় বল \( AC = 2P \)। বল দ্বিগুণ করলে, \( AB' = 6P \), কিন্তু \( AC \) অপরিবর্তিত থাকলে, লব্ধি দ্বিগুণ হলে: \[ \frac{1}{2} \times 6P \times 2P \times \sin \theta' = 2 \times \left( \frac{1}{2} \times 3P \times 2P \times \sin \theta \right) \] সুতরাং, \[ 6P^2 \times \sin \theta' = 2 \times 3P^2 \times \sin \theta \] \[ 6P^2 \times \sin \theta' = 6P^2 \times \sin \theta \] অর্থাৎ, \[ \sin \theta' = \sin \theta \] এখন, বলদ্বয়ের কোণ \(\theta\) এর জন্য, এটি নির্ণয় করতে আমরা মনে করি যে, বলের মান পরিবর্তিত হলে, কোণের মান পরিবর্তিত হয়। অতএব, কোণের মান \(\theta\) এর জন্য, বলদ্বয় এর কোণের জন্য, চিত্রের মাধ্যমে বোঝা যায়: \[ \text{যদি বলের মান দ্বিগুণ হয়, তবে কোণের সাইন মান পরিবর্তিত হবে না, অর্থাৎ,} \quad \sin \theta = \sin \theta' \] অতএব, বলদ্বয়ের কোণ \(\theta\) এর মান নির্ণয় করতে, আমরা চাই যে, \[ \sin \theta = \sin \theta' \] এবং, দ্বিগুণ বলের জন্য, কোণের মান নির্ণয় করতে, আমরা মনে করি যে, বলদ্বয় এর কোণ হবে \(\theta = 120^\circ\)। সারাংশে, বলদ্বয়ের কোণ \(\boxed{120^\circ}\) হবে।