3cm/s,5cm/s এবং 7cm/s মানের তিনটি বেগ একটি কণার উপর সাম্যবস্থায় ক্রিয়া করছে। ১ম দুইটি বেগের মধ্যবর্তী কোণের মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

দেওয়া বেগের মানগুলো হল: \( v_1 = 3\,cm/s \), \( v_2 = 5\,cm/s \), এবং \( v_3 = 7\,cm/s \)।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, তিনটি বেগ সম্যবস্থায় ক্রিয়া করছে। অর্থাৎ, এই তিনটি বেগের ভেক্টরসমূহ একটি সমান সম্যবস্থার মধ্যবর্তী কোণে অবস্থান করছে।

ধারণা:

• দুটি বেগের ভেক্টর \( \vec{v}_1 \) ও \( \vec{v}_2 \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) খুঁজতে হবে।
• তাদের ভেক্টর যোগফল \( \vec{v}_1 + \vec{v}_2 \) এর মানে তার পরবর্তী বেগ \( v_3 \) এর সমান, কারণ তারা সম্যবস্থায় ক্রিয়া করছে।

সমাধান:

ভেক্টর যোগফল এর মান নির্ণয় করতে হবে:

\[ |\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos \theta} \] এবং, কারণ এই যোগফলটি \( v_3 \) এর সমান, তাহলে: \[ v_3 = |\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos \theta} \] প্রতিস্থাপন করি মানগুলো: \[ 7 = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2 \times 3 \times 5 \times \cos \theta} \] প্রসারিত করি: \[ 7^2 = 3^2 + 5^2 + 30 \cos \theta \] \[ 49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta \] সরল করি: \[ 49 = 34 + 30 \cos \theta \] অতঃপর: \[ 30 \cos \theta = 49 - 34 = 15 \] \[ \cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \] অতএব: \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ \]

উত্তর:

সুতরাং, প্রথম দুইটি বেগের মধ্যবর্তী কোণ হল 60°।