কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বলের একটির মান অপরটির দ্বিগুণ হলে এবং তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতরটির উপর লম্ব হলে, বলদ্বয়ের অন্তর্ভূক্ত কোণ হবে--

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: দুটি বলের মধ্যে ক্রিয়াকালে, একটির বলের মান অপরটির দ্বিগুণ। ধরা যাক, বলগুলো যথাক্রমে \(F_1\) এবং \(F_2\)। তাহলে:

\(F_2 = 2F_1\)

এবং বলদ্বয়ের লম্ব (অর্থাৎ, লম্বের লম্বদিকের কোণ) ক্ষুদ্রতম বলের উপর। অর্থাৎ, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\)।

প্রতিটি বলের জন্য লব্ধি (অর্থাৎ, কার্যকরী বলের প্রকৃতি) এই কোণের উপর নির্ভর করে। বলদ্বয়ের কার্যক্ষমতা বা কার্যপ্রেরণার জন্য, আমরা বলতে পারি যে, বলদ্বয় সমান্তরাল বা একদিকে থাকলে তাদের কার্যকারিতা সর্বাধিক। তবে, এখানে বলদ্বয়ের মধ্যে কোণ \(\theta\) এর জন্য কার্যকারিতা সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ নির্ণয় করতে চাই।

আমরা জানি যে, দুই বলের কার্যকারিতা বা কার্যপ্রেরণার জন্য, বলের মান ও কোণের সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে, শক্তি বা কাজের সমীকরণে ব্যবহার করা হয়। এখানে, আমরা বলের মানের অনুপাত দিয়ে কোণের মান নির্ণয় করব।

ধরা যাক, বলদ্বয় একে অপরের থেকে একটি পয়েন্টে সংঘটিত হচ্ছে। বলদ্বয় যদি একে অপরের উপর লম্ব হয়, তবে তাঁদের মধ্যে কোণ \(\theta\)।

দুটি বলের মধ্যে সম্পর্ক অনুযায়ী, তাদের লব্ধি ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ:

\(F_1 \cos \frac{\theta}{2} = F_2 \cos \frac{\theta}{2}\)

এখানে, বলের মান ও কোণের সম্পর্ক অনুযায়ী, যদি বলগুলো স্থির থাকে এবং তাদের লম্ব হয়, তবে কোণের মান নির্ণয় করতে পারি।

দুটি বলের মানের অনুপাত \(F_2 = 2F_1\), তাই:

\(\cos \frac{\theta}{2} = \frac{F_1}{F_2} = \frac{F_1}{2F_1} = \frac{1}{2}\)

অতএব,

\(\frac{\theta}{2} = \cos^{-1} \frac{1}{2} = 60^\circ\)

সুতরাং,

\(\theta = 2 \times 60^\circ = 120^\circ\)

অতএব, বলদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ হবে \(\boxed{120^\circ}\)।