একটি দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে মূলদ্বয় কীরূপ হবে?

প্রশ্ন:

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চিতক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে মূলদ্বয় কীরূপ হবে?

উত্তর:

যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চিতক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তাহলে এর মূলদ্বয় বাস্তব ও মূলদ হবে।

ব্যাখ্যা (Solution):

ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণ হলো:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

যেখানে, নিশ্চিতক (discriminant) \(\Delta\) হল:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

যদি \(\Delta\) হয় পূর্ণবর্গ সংখ্যা, তাহলে \(\Delta = k^2\) (যেখানে, \(k\) একটি পূর্ণসংখ্যা)।

অর্থাৎ, নিশ্চিতক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে:

\[ \Delta = k^2 \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

মূলদ সমাধানগুলি হলো:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm k}{2a} \]

যেহেতু, \(b, k, a\) সকলেই পূর্ণসংখ্যা, তাহলে:

• উত্তরদ্বয় হবে মূলদ (Rational)
• এবং, কারণ মূলদ সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা বা তার অনুপাত, তাই মূলদ সংখ্যা হবে বাস্তব ও মূলদ।

উপসংহার:

অতএব, যদি দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চিতক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তাহলে এর মূলদ্বয় হবে বাস্??ব এবং মূলদ।