0,1,2,6 অংকগুলো একবার করে ব্যবহার করে 3 দ্বারা বিভাজ্য মোট কতটি (এক অংকের, দুই অংকের, তিন অংকের ও চার অংকের) সংখ্যা গঠন করা যাবে?

Explanation: Hints: এক অংকের গঠিত এমন সংখ্যা বেছে করতে হবে যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। এভাবে দুই, তিন ও চার অংকের সংখ্যা বেছে করে সবগুলো যোগ করতে হবে। Solve: \(0, 1, 2, 6\) অংকগুলো দ্বারা গঠিত ৩ দ্বারা বিভাজ্য i) এক অংকবিশিষ্ট সংখ্যা: 1 টি \([6]\) ii) দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যা: 3 টি \([12, 60, 21]\) iii) তিন অংকবিশিষ্ট সংখ্যা: 10 টি \([102, 120, 126, 210, 216, 162, 201, 612, 621]\) iv) চার অংকবিশিষ্ট সংখ্যা: 18 টি \([\text{ত্রি অংকের পরে চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যায় এবং মজার ব্যাপার সবগুলোই ৩ দ্বারা বিভাজ্য}]\) সর্বমোট গঠিত সংখ্যা: \(1+3+10+18 = 32\) টি Ans. (E) ব্যাখ্যা: সাধারণ বিন্যাসের নিয়ম অনুযায়ী এ Problem সমাধান করা যায় না। যেমন: দুই অংকবিশিষ্ট ক্ষেত্রে 2 রেখে গঠিত \(12, 3\) দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু \(62, 3\) দ্বারা বিভাজ্য নয়। আবার এককক্ষেত্রে তিন অংকবিশিষ্ট \(210, 3\) দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু \(610, 3\) দ্বারা বিভাজ্য নয়। এককথায় তাই এক অংক, দুই অংক, তিন অংক ও চার অংকবিশিষ্ট সংখ্যা একত্রে বেছে করে তাদের যোগ করতে হবে কোনটি \(3\) দ্বারা বিভাজ্য। Hence সমস্যাসমূহ একটু পরীক্ষণের মাধ্যমে Problem সমাপ্তি শুদ্ধ করা সম্ভব।

Another Explanation (5): 0, 1, 2, 6 অঙ্কগুলো একবার করে ব্যবহার করে 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা তৈরির জন্য প্রথমে অঙ্কগুলোর যোগফল দেখতে হবে। 0 + 1 + 2 + 6 = 9, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, এই অঙ্কগুলো দিয়ে গঠিত যেকোনো সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি অঙ্কগুলোর যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়। এক অঙ্কের সংখ্যা: 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 0, 6। কিন্তু 0 সংখ্যাটি গণনা করা হয় না। সুতরাং, 6 একটি সংখ্যা। \( \therefore \) 1 টি। দুই অঙ্কের সংখ্যা: 0, 1, 2, 6 অঙ্কগুলো ব্যবহার করে দুই অঙ্কের সংখ্যা গঠন করতে হবে। এখানে প্রথম অঙ্কটি 0 হতে পারবে না। সম্ভাব্য সংখ্যাগুলো হল: 12, 16, 21, 26, 60, 61, 62। এদের মধ্যে 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হল: 12, 16+2=18 x, 21, 26+1=27 x, 60, 61+2=63 x, 62+1=63 x । 12 \( \rightarrow \) 1+2=3 21 \( \rightarrow \) 2+1=3 60 \( \rightarrow \) 6+0=6 15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96 তাহলে, 12, 21, 60 এই তিনটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য। \( \therefore \) 3 টি। তিন অঙ্কের সংখ্যা: তিন অঙ্কের সংখ্যা গঠনের সময় দেখতে হবে যেন অঙ্কগুলোর যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়। এক্ষেত্রে 0, 1, 2, 6 অঙ্কগুলো ব্যবহার করে সম্ভাব্য সংখ্যাগুলো বিবেচনা করতে হবে। তিন অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাগুলো হল: 120, 102, 210, 201, 162, 126, 612, 621, 102, 120, 201, 210, 216, 261, 603, 630 126, 162, 216, 261, 612, 621। মোট সংখ্যা = 16 টি। চার অঙ্কের সংখ্যা: 0, 1, 2, 6 চারটি অঙ্ক ব্যবহার করে চার অঙ্কের সংখ্যা গঠন করতে হবে। যেহেতু অঙ্কগুলোর যোগফল 9 (যা 3 দ্বারা বিভাজ্য), তাই যেকোনো বিন্যাস 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে। প্রথম স্থানে 0 বসতে পারবে না। তাই মোট সংখ্যা হবে: 3 * 3 * 2 * 1 = 18 টি। \(4! - 3! = 24 - 6 = 18\) সুতরাং, মোট সংখ্যা: 1 + 3 + 10 + 18 = 32 টি। এক অঙ্কের সংখ্যা: 1 টি (6) দুই অঙ্কের সংখ্যা: 3 টি (12, 21, 60) তিন অঙ্কের সংখ্যা: 10 টি (102, 120, 126, 162, 201, 210, 216, 261, 612, 621) চার অঙ্কের সংখ্যা: 18 টি (1026, 1062, 1206, 1260, 1602, 1620, 2016, 2061, 2106, 2160, 2601, 2610, 6012, 6021, 6102, 6120, 6201, 6210) মোট = 1 + 3 + 10 + 18 = 32