পৃথিবীর ব্যাসার্ধ (R) এর তুলনায় কত গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেক হবে?
সঠিক উত্তরঃ
A.
R/2
Another Explanation (5):
অভিকর্ষজ ত্বরণের মানের সম্পর্ক
প্রশ্ন:
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \( R \) এর তুলনায় কত গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেক হবে?
উত্তর:
অভিকর্ষজ ত্বরণের মানের সূত্রটি হলো:
\( g = \frac{GM}{r^2} \)
যেখানে,- \( G \) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক,
- \( M \) হলো পৃথিবীর ভর,
- \( r \) হলো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে পৃথিবীর কেন্দ্রের দূরত্ব।
সমাধান:
ধরা যাক, নির্দিষ্ট গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g' \) হবে, যেখানে:
\( g' = \frac{GM}{(R + h)^2} \)
এবং, প্রশ্নে বলা হয়েছে, এই মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেক, অর্থাৎ:\( g' = \frac{g}{2} \)
অর্থাৎ:
\( \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{1}{2} \times \frac{GM}{R^2} \)
শর্ত থেকে, \( GM \) কেটে গেলে পাই:\( \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{2 R^2} \)
অতএব:\( (R + h)^2 = 2 R^2 \)
উভয় পাশে মূল নেওয়া গেলে:\( R + h = R \sqrt{2} \)
অতএব, গভীরতা \( h \) হবে:\( h = R (\sqrt{2} - 1) \)
কিন্তু, প্রশ্নে বলা হয়েছে, কত গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান পৃথিবীর ব্যাসার্ধের তুলনায় হবে, অর্থাৎ, \( h \) এর মানের জন্য আমরা বলব: \[ h \approx R (\sqrt{2} - 1) \approx R \times 0.414 \] তাই, এই গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অর্ধেক হবে। তবে, সরলীকরণের জন্য, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়: