4e^x+9e^-x এর লঘিষ্ঠ মান কত?

4e^x + 9e^-x এর লঘিষ্ঠ মান কত?

1. 7 (Incorrect)
2. 12 (Correct)
3. 16 (Incorrect)
4. 19 (Incorrect)

ব্যাখ্যা:

ধরি, f(x) = 4e^x + 9e^-x

লঘিষ্ঠ মান বের করার জন্য, আমরা প্রথমে f(x) এর প্রথম অন্তরক বের করব এবং সেটাকে শূন্যের সমান ধরে x এর মান নির্ণয় করব। এরপর, দ্বিতীয় অন্তরকের মান পরীক্ষা করে দেখব যে x এর ঐ মানের জন্য f(x) লঘিষ্ঠ নাকি গরিষ্ঠ।

প্রথম অন্তরক:

f'(x) = d/dx (4e^x + 9e^-x)

f'(x) = 4e^x - 9e^-x

লঘিষ্ঠ মানের জন্য, f'(x) = 0

4e^x - 9e^-x = 0

4e^x = 9e^-x

উভয় দিকে e^x গুণ করে পাই:

4e^2x = 9

e^2x = 9/4

উভয় দিকে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই:

2x = ln(9/4)

2x = ln(9) - ln(4)

2x = 2ln(3) - 2ln(2)

x = ln(3) - ln(2)

x = ln(3/2)

এখন, দ্বিতীয় অন্তরক বের করি:

f''(x) = d/dx (4e^x - 9e^-x)

f''(x) = 4e^x + 9e^-x

যেহেতু e^x এবং e^-x সর্বদা ধনাত্মক, f''(x) সর্বদা ধনাত্মক হবে। সুতরাং, x = ln(3/2) বিন্দুতে f(x) এর লঘিষ্ঠ মান বিদ্যমান।

লঘিষ্ঠ মান নির্ণয়:

f(ln(3/2)) = 4e^ln(3/2) + 9e^-ln(3/2)

f(ln(3/2)) = 4 * (3/2) + 9 * (2/3)

f(ln(3/2)) = 6 + 6

f(ln(3/2)) = 12

সুতরাং, 4e^x + 9e^-x এর লঘিষ্ঠ মান 12।

বিকল্প পদ্ধতি (AM-GM অসমতা)

আমরা AM-GM অসমতা ব্যবহার করেও এটি সমাধান করতে পারি। দুটি ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে, তাদের গাণিতিক গড় জ্যামিতিক গড়ের চেয়ে বড় বা সমান হয়।

(a + b) / 2 ≥ √(ab)

ধরি, a = 4e^x এবং b = 9e^-x। উভয় রাশিই ধনাত্মক।

(4e^x + 9e^-x) / 2 ≥ √(4e^x * 9e^-x)

4e^x + 9e^-x ≥ 2√(36 * e⁰)

4e^x + 9e^-x ≥ 2√36

4e^x + 9e^-x ≥ 2 * 6

4e^x + 9e^-x ≥ 12

সুতরাং, 4e^x + 9e^-x এর লঘিষ্ঠ মান 12।

সিদ্ধান্ত

4e^x + 9e^-x এর লঘিষ্ঠ মান 12।

সঠিক উত্তর: B. 12