n এর ধনাত্মক সর্বনিম্ন অখন্ড মান কত যখন {(1+i)/(1-i)}^n=1?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( n \) এর ধনাত্মক সর্বনিম্ন অখণ্ড মান কত যখন \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = 1 \)? উত্তর: 4 সমাধান: প্রথমে, ধরা যাক, \[ \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = 1 \] এখানে, \(\frac{1+i}{1-i}\) এর মান খুঁজে বের করতে হবে। প্রথমে, সরলীকরণ করি: \[ \frac{1+i}{1-i} \] রাশিয়ান গুণনীয়ক ব্যবহার করে: \[ \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} \] সতর্কতা: এই পদ্ধতিতে, মূল গুণনীয়কটি 1-i এর সাথে 1+i এর গুণফল। কিন্তু সরাসরি সরলীকরণ সহজতর হয় যদি মূল গুণনীয়কটি কনজুগেট দিয়ে গুণ করা হয়। অতএব, সরলীকরণের জন্য: \[ \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} \] এখানে, \[ (1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \] এবং, \[ (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \] অতএব, \[ \frac{1+i}{1-i} = \frac{2i}{2} = i \] অতএব, \[ \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = i^n \] প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \[ i^n = 1 \] এখন, \( i \) এর মানের জন্য, আমরা জানি: \[ i^1 = i \] \[ i^2 = -1 \] \[ i^3 = -i \] \[ i^4 = 1 \] এবং এই চক্র 4 ধাপে পুনরাবৃত্তি হয়। সুতরাং, \( i^n = 1 \) তখন এবং শুধুমাত্র তখন, যখন: \[ n \equiv 0 \ (\text{mod } 4) \] অর্থাৎ, \( n \) একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হলে, সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান: \[ n = 4 \] অতএব, উত্তর: \[ \boxed{4} \]